Пример. Известна плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X;Y):

Известна плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X; Y):

Найти: 1) плотности распределения компонент X и Y; 2) условные плотности распределения компонент X и Y.

Решение. 1) Найдем вначале плотность распределения компоненты X:

Вынося за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования y, и дополнив оставшийся показатель степени до полного квадрата, получим:

Учитывая, что интеграл Пуассона , найдем плотность распределения компоненты X:

Аналогично найдем плотность распределения компоненты Y:

2) Найдем условные плотности распределения компонент X и Y. Выполнив элементарные выкладки, получим:

, .

Ответ:

1) , .

2) , .