Дискретные двумерные случайные величины

Определение. Двумерная случайная величина (X; Y) называется дискретной, если случайные величины Х и Y дискретны.

Если случайная величина Х может принимать только значения x ₁,..., x_n (для простоты изложения ограничимся только конечным множеством значений), а случайная величина Y — значения y ₁,..., y_m, то двумерный случайный вектор (X; Y) может принимать только пары значений (x_i; y_j), где i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., m. Также, как и в одномерном случае, распределение двумерной дискретной случайной величины естественно описывается с помощью таблицы:

В этой таблице p_ij ³ 0 и .

Одномерные законы распределения отдельных компонент случайного вектора (X; Y) выражаются через вероятности совместных значений p_ij по формулам:

(8.2)

, ,

где суммирование распространяется на все возможные значения индексов i или j. Уточним, что для получения значения вероятности p_i для некоторого фиксированного значения i, надо сложить вероятности p_ij, стоящие в i -ой строке таблицы, а для получения значения вероятности p_j для некоторого фиксированного значения j, надо сложить вероятности p_ij, стоящие в j -ом столбце таблицы. При этом удобно одномерные законы распределения отдельных компонент записывать в той же таблице (см. ее последнюю строку и последний столбец). В правом нижнем углу таблицы обязательно должна находиться единица, являющаяся результатом суммирования вероятностей в ее последней строке (последнем столбце) и соответствующая условию нормировки. С помощью таблицы нетрудно определить функцию распределения

(8.3)

Также легко по таблице вычисляется вероятность любого события B, задаваемого в виде произвольной области на плоскости:

(8.4)