Теоремы вероятностей

Совмещением (или пересечением) событий А и В называется событие A Ç B = «наступает и А и В» (т.е. набор благоприятствующих ему исходов равен пересечению множеств исходов, благоприятствующих А и В). Все эти определения обобщаются и на любое конечное число событий. Наряду с символами È, Ç в теории вероятностей широко используют и др. теоретико-множественные обозначения (что естественно, поскольку события в ней отождествляются с множествами исходов). Так, А — дополнительное (или противоположное) к А событие (образованное всеми не благоприятствующими А исходами); запись A Ì В означает, что появление события А влечет наступление события В.

Приведем следующие свойства вероятности и дадим необходимые определения для совместных событий.

События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Условной вероятностью Р_А (В) (или другая запись Р(В / А)) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. т.е. вероятность события А на подмножестве тех событий, где выполнено В.

Такое определение хорошо согласуется с частотной интерпретацией вероятностей.

Теорема вычисления вероятности произведения совместных событий А + В.

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е.

Теорема вычисления вероятности суммы совместных событий А + В.

Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления,

Определим чему равна вероятность суммы противоположных событий. События А и А несовместны, следовательно Р (А + А) = Р (А) + Р (А). Сумма двух противоположных событий есть событие достоверное, поэтому Р (А + А) = 1. Тогда Р (А) + Р (А) = 1. Отсюда следует:

если A Ì B, то P (A) £ P (B);

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий B ₁, B ₂,..., B_n, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле:

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B ₁, B ₂,..., B_n, вероятности появления которых P (B ₁), P (B ₂)..., P (B_n). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B ₁, B ₂,..., B_n, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез

По теореме умножения вероятностей

Откуда

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез P (B_i / A) называются апостериорными вероятностями, вероятностями после опыта (испытания) вероятность справедливости гипотезы B_i, если известно, что наступило событие А.

A P (B_i) — априорными вероятностями, вероятностями до опыта (испытания)

Можно сформулировать следующее определение для независимых событий События A и B называются независимыми, если условная вероятность одного из них при условии наступления другого равна его безусловной вероятности, или, что то же, если Р (АВ) = Р (А Ç В) = Р (А) Р (В). Аналогично события A ₁, А ₂,..., A_n называются независимыми, если для любых 1 £ i ₁ £ i ₂ <... < i_k £ n, k £ n.

Отметим, что из попарной независимости событий отнюдь не вытекает их независимость в совокупности. Последнее равенство называется. теоремой умножения вероятностей для к событий. Эта Формула останется справедливой, если некоторые из A_i заменить в обеих частях на дополнительные к ним события А_i.