Понятие предиката

Высказывание - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.

Например:

· Земля - планета Солнечной системы. (Истинно);

· 2 + 8 < 5 (Ложно);

· 5 ´ 5 = 25 (Истинно);

· Всякий квадрат есть параллелограмм (Истинно);

· Каждый параллелограмм есть квадрат (Ложно);

· 2 ´ 2 = 5 (Ложно);

· Каждый прямоугольник есть параллелограмм (Истинно);

· 2 / 2 = 5 (Ложно);

Значение истинности составных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок.

Например, простыми высказываниями являются:

· на дворе идет снег;

· на дворе светит солнце;

· на дворе пасмурная погода;

· на дворе идет град.

В алгебре логики высказывания рассматриваются как простые так и составные высказывания только с точки зрения их истинности или ложности. Ни структура высказываний, ни их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

Например, в рассуждении «Всякий ромб — параллелограмм; ABCD — ромб; следовательно, ABCD — параллелограмм» посылки и заключение являются простыми высказываниями логики высказываний и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.

В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать и структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.

Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части.

Логика предикатов расчленяет простое высказывание на субъект (буквально — подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально — сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект — это то, о чем что-то утверждается в высказывании; предикат — это то, что утверждается о субъекте.

Например, в высказывании «7 — простое число», «7» — субъект, «простое число» — предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х — простое число». При одних значениях х, (например, х = 13, х =17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10, х = 18) эта форма дает ложные высказывания.

Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной х, определенной на множестве N, и принимающую значения из множества {1, 0} или {TRUE, FALSE}, которые, соответственно, эквивалентны понятиям {«истина», «ложь»}.

Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.

Определение. Одноместным предикатом Р (х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1, 0}.

Множество М, на котором определен предикат P (х), называется областью определения предиката.

Множество всех элементов х Î М, при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р (х), то есть множество истинности предиката Р (х) — это множество I_р = { х | х Î М, Р (х) = 1}.

Так, предикат — Р (х) — «х — простое число» определен на множестве N, а множество I_р для него есть множество всех простых чисел.

Предикат Q { x } — «sin х = 0» определен на множестве R, а его множество истинности I_Q = { x | x = k; k Î Z }.

Предикат F (x) — «Диагонали параллелограмма х перпендикулярны» определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.

Приведенные примеры одноместных предикатов выражают свойства предметов.

Предикат Р (х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если I_p = М (1 р = Æ).

Предикат sin² x + cos² x = 1 — тождественно истинный, предикат sin x ¹ sin x тождественно ложный.

Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются отношения между предметами.

Примером отношения между двумя предметами является отношение «меньше» («больше»). Пусть это отношение введено на множестве Z целых чисел. Оно может быть охарактеризовано высказывательной формой «х < у»(«х > y»), где х, у Î Z, то есть является функцией двух переменных Р (х, у), определенной на множестве Z ´ Z с множеством значений {1, 0}.

Двухместным предикатом Р (х, у) называется функция двух переменных х и у (субъекты предиката), определенная на множестве М = М ₁ ´ М ₂ (х Î М ₁, у Î М ₂) и принимающая значения из множества {1, 0}.

Найдем значения предиката «х < у», где х, у Î Z для пар (2, 1), (4, 4), (3, 7):

Вместо х и у подставим указанные значения: Р (2, 1) = 0, т.к. 2 > 1; Р (4, 4) = 0, т.к. 4 = 4; Р (3, 7) = 1, т.к. 3 < 7, областью истинности этого предиката является множество всех пар целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству.

Рассмотрим этот же предикат, но с областью определения M = R ², тогда область его истинности можно представить графически: это все точки части плоскости (открытая, бесконечная область), лежащей ниже прямой у = х.

Обозначим P (x) предикат «x делится на 5». Используя квантор общности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):

· любое натуральное число кратно 5;

· каждое натуральное число кратно 5;

· все натуральные числа кратны 5;

следующим образом: .

Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

· существуют натуральные числа, кратные 5;

· найдётся натуральное число, кратное 5;

· хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Их формальная запись: .

Рассмотрим примеры предикатов: