Анализ результатов испытаний. Завершающим этапом испытаний по полному или дробному факторному плану является статистический анализ полученных данных

Завершающим этапом испытаний по полному или дробному факторному плану является статистический анализ полученных данных, который включает: оценку воспроизводимости результатов испытаний; оценку значимости коэффициентов регрессии и уточ­нение вида модели; проверку адекватности модели.

Целью проверки воспроизводимости является установление однородности результатов испытаний, проводимых на различных уровнях . В ходе опытно-конструкторских ра­бот при проведении лабораторных и стендовых испытаний обычно используется освоенная аппаратура, обеспечивающая стабиль­ность условий. Поэтому предварительное заключение относительно воспроизводимости ожидаемых результатов часто может быть сделано до начала испытаний. При необходимости проверки воспроизводимости содержание задачи совпадает с задачей провер­ки гипотезы о стабильности условий испытаний. Пусть результаты испытаний представлены, как показано в табл. 7.

Проверке подлежит гипотеза , где – количество строк матрицы планирования. Условием проверки гипо­тезы является наличие параллельных опытов в каждой из строк.

Тогда в каждой строке могут быть вычислены

; ; ,

где – количество повторных испытаний.

Таблица 7

Номер опыта	План испытаний	Результаты испытаний	Вычисляемые оценки
	+	–	–	...	+			...
	+	–	+	...	+			...
								...
	+	–	+	...	–			...

Для проверки гипотезы можно воспользоваться критериями Кохрена или Бартлетта. Если , расчетное значе­ние статистики критерия Кохрена определяется по формуле и гипотеза принимается, если , где , . Если дисперсии однородны (принята гипоте­за ), то дисперсия опыта (или, что то же самое, дисперсия вос­производимости) подсчитывается по зависимости

, (11)

где знаменатель характеризует число степеней свободы . В общем случае, подсчитывается как среднее взве­шенное значение

. (12)

Проверка значимости коэффициентов регрес­сии позволяет лучше осмыслить математическое описание про­цесса, а также уточнить вид модели путем отсеивания факторов, слабо влияющих на значение выходного параметра. Проверка зна­чимости каждого из коэффициентов производится независимо, с помощью проверки гипотезы 0 по -критерию. Расчетные значения статистики критерия можно определить по соотношению

. (13)

Если , то коэффициент является значимым и соответствующий фактор оказывает существенное влияние на величину . Статистическая незначимость может быть вызвана следующими причинами:

· интервал варьирования был выбран слишком малым;

· уровень начального режима по фактору оказался близок к точке частного экстремума ;

· велика ошибка опыта из-за влияния неуправляемых и неконтролируемых факторов;

· данный фактор (совокупность факторов) не оказывают за­метного влияния на величину выходного параметра.

Поскольку план ортогонален и коэффициенты оцениваются не­зависимо друг от друга, оказавшиеся незначимыми коэффициен­ты могут быть отброшены без пересчета остальных.

Проверка адекватности заключается в подтвержде­нии предположения, что полученная математическая модель до­статочно верно описывает характер процесса. Формальное содержание гипотезы состоит в том, что предсказанные уравнением (расчетные) значения выходного параметра отклоняются от опытных на величину, не превышающую некоторый наперед за­данный уровень, и модель пригодна для обоснования инженерных решений. Для проверки гипотезы оценивается дисперсия адекват­ности

; . (14)

Если дисперсия адекватности не превышает дисперсии опыта , то есть основание полагать, что модель адекватно описывает процесс. Согласно п. 1.3 для проверки гипотезы о диспер­сиях используется -критерий. Статистика критерия

. (15)

Модель считается адекватной процессу, если , где , . Если ,то для получения адекватного описания необходимо увеличить порядок аппроксимирующего полинома. Очевидно, что проверка адекватности возмож­на лишь в том случае, если , то есть число разных испытаний превосходит количество включаемых в модель факторов.

Если гипотеза адекватности принимается, то модель может использоваться для управления процессом (при доводочных испы­таниях для определения значений факторов, при которых дости­гается экстремальное или заданное значение выходного парамет­ра). Незначимые коэффициенты могут быть отброшены, однако при этом необходима основанная на анализе физической сущ­ности явления уверенность, что эти факторы не влияют на выход­ной параметр. В противном случае следует стремиться продолжить испытания (расширив, если позволяют технические возможности, по незначимым факторам).

Если модель неадекватна, возможны следующие решения: перейти к модели более высокого порядка (когда можно предпо­ложить, что опыты проводились в области, близкой к оптималь­ной); продолжить испытания, уменьшив интервал варьирования, или перенося центр плана в другую точку.

Рассмотрим примеры использования ДФП при организации ис­пытаний технических систем.

1. Планируются испытания двигателя на надежность при эксплуа­тации. В качестве основных эксплуатационных факторов выделе­ны: механические воздействия при транспортировании, воспроизво­димые на вибростенде , температура и влажность воздуха , имитируемые попеременным термостатированием и выдержкой в термобарокамере; старение при хранении, достигаемое проведени­ем ускоренных испытаний узлов двигателя ; излучение и прогрев эле­ментов , с помощью секционных термобарокамер, с использова­нием электронагревательных приборов и холодильной установки. В качестве выходного параметра оценивалась величина давления в блоке цилиндров двигателя . Для испытаний выделялось двигателей. Поскольку для полного учета всех факторов (при числе уровней ) необходимо образца, было принято решение применить ДФП , причем , . Тогда обобщенный определяющий контраст . Получаемая в этом случае математическая модель принимает вид

.

Поскольку реализация плана возможна при , остав­шиеся четыре образца использовались для проведения контроль­ной серии испытаний. План испытаний показан в табл. 8.

2. Планируются испытания двигателя, проводимые с целью эмпири­ческого определения коэффициента усиления, величина которого в общем виде представляется как , где – изме­нение -го регулируемого выходного параметра двигателя, – изменение регулирующего параметра по -му каналу регулирования. Исполнительными органами систем регулирования являются регуляторы расхода, регуляторы давления, дроссели. Величина обычно включается в ТЗ на раз­работку.

Таблица 8

Номер опыта						Номер опыта
	–	–	–	–	+		–	+	+	–	+
	+	–	–	+	+		+	+	+	+	+
	–	+	–	+	–		+	+	+	+	+
	+	+	–	–	–
	–	–	+	+	–		–	–	–	–	+
	+	–	+	–	–		–	+	–	+	–

Из практики опытной отработки известно, что расчетные значения обычно не подтверждаются в ходе испытаний. Поэто­му возникает потребность настройки регулирующих органов с по­следующей опытной проверкой. Для обеспечения эффективности организации работ по определению и настройке коэффициентов усиления по каналам регулирования двигателя находят примене­ние полные и дробные факторные планы. Рассмотрим случай, в котором для проведения испытаний реализуется ПФП при числе испытаний (табл. 8). В каждом испытании значения фак­торов и ( и ) определяют крайние положения органов в выбранной области изменения этих факторов. Матрица планиро­вания и полученные из опыта результаты представлены в табл. 9. В нижней строке таблицы приводятся вычисленные по формуле (8) значения коэффициентов

Таблица 9

Режим	План	Результаты испытаний
	+	–	–	+	0,7166	0,6769	0,7166	0,5785	0,6721	0,6939
	+	–	+	–	0,8100	0,8100	0,8700	0,7545	0,8111	0,7893
	+	+	–	–	0,6615	0,6076	0,5250	0,6071	0,6003	0,6221
	+	+	+	+	0,6071	0,5533	0,4941	0,5375	0,5480	0,5263
	0,6578	– 0,0837	0,0216	– 0,0478

Рассмотрим порядок статистического анализа результатов ис­пытаний. Для проверки условия воспроизводимости по формуле (11) определим

; ; ; .

Затем вычислим расчетное значение стати­стики критерия Кохрена:

.

При уровне значимости и числе степеней свободы , находим . Поскольку , принимается гипотеза об однородности данных (вос­производимости результатов испытаний). Следовательно, диспер­сия испытаний может быть определена по всем испытаниям со­гласно зависимости (12):

.

Из (9) видно, что погрешность оценивания

.

Для проверки значимости коэффициентов и уточнения вида модели вычислим расчетные значения статистики -критерия по формуле (13):

; ; .

Из таблицы Приложения при и получим . Следовательно, для и имеет место и эти коэффициенты значимо отличаются от нуля. Поскольку коэффициент оказался незначимым. Поэтому фак­тор из дальнейшего рассмотрения исключаем. Уточненная модель принимает вид

.

Для проверки адекватности модели определим предсказанные этой моделью значения ; ; ; . Согласно зависимости (14) мера неадекватности модели оценивается дисперсией

.

Тогда определяемое по (15) расчетное значение статистики критерия

.

При , , находим , что позволяет принять гипотезу об адекватности модели изучаемому процессу и использовать ее в дальнейшем для настройки двигателя.

Оптимальные планы

Если целью испытаний является изучение характера процесса, то с получением адекватной модели они могут быть завершены. При доводочных испытаниях, когда – параметры конструкции, работа продолжается для получения координат точки в которой соответствует заданному (или экстремальному) значению. Рассмотрим два основных подхода к отысканию области оптимума : крутое восхождение и симплексный метод.

Крутое восхождение (метод Бокса-Уилсона) выгодно отличается от традиционной организации многофакторного экспе­римента, при проведении которого последовательно отыскивается экстремум по каждому из факторов. Сущность крутого восхожде­ния заключается в шаговом движении в направлении наибольшего изменения функции (направлении градиента)

, (16)

с корректировкой этого направления после достижения частного экстремума функции. На пути движения к экстремуму производится регулярный статистический анализ. В (16) – единичные векторы в направлении координатных осей.

Определению служит реализация ПФП (ДФП), обеспе­чивающая получение адекватной модели чаще всего в виде линей­ного уравнения регрессии. Дальнейшие операции сводятся к сле­дующему.

Вычисляются произведения . Фактор, для которого имеет место принимается за базовый . Для базового фактора исходя из анализа физической сущности процесса устанавливается шаг варьирования (в направлении экстремума), после чего для других шаг рассчитывается про­порционально наклону поверхности отклика, характеризующемуся величиной :

. (17)

Затем производятся «мысленные опыты», которые заключаются в вычислении предсказываемых уравнением регрессии значений в точках факторного пространства. Через несколько (обычно два – пять) шагов

Рис. 2. Графическое представление проведения испытаний по схеме крутого

восхождения

проводятся реальные испытания. Сравнивая опытные значения с расчетными, определяют наиболее близкие к экстре­мальным значения , где и проводится новая серия испытаний, по­сле чего при необходимости крутое восхождение продолжается. Испытания прекращаются, когда все или почти все значения не­значимы или близки к нулю.

Пример проведения испытаний по схеме крутого восхождения содержится в табл. 10.

В качестве параметра оптимизации рас­сматривалась удельная тяга ЖРД – , максимума которой до­бивались подбором форсунок окислителя разного диаметра соп­ла – фактор и изменением выходного сечения сопла – фактор . Предварительно по ПФП получена модель, с помо­щью которой определено градиентное направление . В дальнейшем проведение реальных испытаний чередовалось с мысленными

Таблица 10

Уровень
мм
Основной………………………… Интервал…………………………. Нижний…………………………... Верхний…………………………..	4,5 0,2 4,3 4,7
Коэффициент ………… Шаг при ……………….	1,2 0,1	0,8
Номер опыта	Вид испытания
мм	н∙с/кг
	Начальная точка………….... Мысленный опыт………….. Реализованный…………….. Мысленный………………... Реализованный ……………. Реализованный…………….	4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2		– – –	– – –

опытами. При подсчете предсказанных значений натуральные значения переводились в кодированные по формуле. Как видно из табл. 2.11, переход от условий испытаний № 5 к условиям испытания № 6 не обеспечивает при­ращения удельной тяги. Далее в точке (рис. 3.2) была проведена контрольная серия из четырех испытаний, которая под­твердила, что дальнейшие вариации и не ведут к увеличению .

Симплексный метод заключается в том, что испыта­ния проводятся в точках факторного пространства, соответствую­щих вершинам симплексов. Под -мерным симплексом подразуме­вают выпуклую геометрическую фигуру, имеющую вершину, соединенные прямыми отрезками-ребрами. Одномерным симплек­сом будет отрезок прямой, двумерным – плоский треугольник, трехмерным – тетраэдр и т.д. При планировании испытаний обыч­но используют правильные симплексы, у которых вершины нахо­дятся друг от друга на одинаковом расстоянии. В отличие от кру­того восхождения, при использовании симплексного метода про­цесс изучения поверхности отклика совмещается с движением к экстремуму. Схема поиска экстремума симплекс-методом при показана на рис. 2. Сначала проводится серия испытаний в вер­шинах правильного -мерного симплекса (точки ) с целью выявить точку, характеризующую условия, при которых получают­ся худшие результаты. Следующую серию испытаний проводят в вершинах нового симплекса, который получают заменой точки, со­ответствующей худшему результату (точка ), ее зеркальным отоб­ражением. Тем самым достигается смещение центра тяжести симп­лекса в направлении экстремума. В дальнейшем процедура повторяется, и образуется последовательность симплексов, перемещаю­щихся в факторном пространстве в направлении к экстремуму. На близость экстремума указывает начинающееся вращение симплек­са вокруг одной из его вершин.

Шаговое движение к экстремуму продолжается до тех пор, пока будет достигнута «почти стационарная область», которая не может быть описана линейной моделью, и где значимы совместные (квад­ратичные) эффекты воздействия.

Близость «почти стационарной области» можно установить, если провести серию испытаний в центре плана и определить зна­чение выходного параметра . Вычисляемое для линейной модели значение при реализации ПФП или ДФП в «почти стационар­ной области» является совместной оценкой для свободного члена и суммы квадратов членов. Следовательно, разность дает представление о кривизне поверхности отклика.

«Почти стационарную область» в большинстве случаев с при­емлемой точностью можно описать уравнением второго порядка

. (18)

Поскольку для отыскания раздельных оценок параметров чис­ло уровней должно быть на единицу больше степени полинома, число уровней должно быть не менее трех. Однако применение ПФП типа приведет к резкому возрастанию количества испы­таний. Для сокращения можно использовать центральные ком­позиционные планы (ЦКП). Ядро ЦКП составляют ПФП или ДФП: ПФП, если число факторов , и ДФП при . Это приводит к тому, что если после реализации ПФП (ДФП) гипо­теза о линейности модели не подтвердилась, нет необходимости проводить испытания заново. Для получения модели второго по­рядка достаточно добавить к ПФП (ДФП) несколько специаль­ным образом подобранных точек, в которых и провести дополни­тельную серию испытаний.

Пусть для получения линейной модели реализован ПФП . Со­гласно рис. 1,б экспериментальные точки лежат в вершинах ку­ба. Если линейная модель неадекватна, то в план включается так называемых «звездных точек» с координатами , расположенных на сфере диаметром (рис. 3). Таким образом, каждая из точек плана лежит на координатных осях на расстоя­нии от центра плана, называемым звездным плечом . Центром плана является центральная точка прямоугольника, если число факторов , куба при , гиперкуба, когда . Наличие звездных точек, собственно, и задает центральный композиционный план.

Представление о положении звездных точек в факторном про­странстве дают следующие примеры: при и ядре плана, об­разованном ПФП , величина звездного плеча ; если , а в ядре реализован ПФП , то ; при и ПФП . Общее число испытаний при реализации ЦКП

,

где – ядро плана, – число звездных точек; – количество испытаний, проводимых в центре плана.

Рис. 3. «Звездные точки» с координатами

Пример ЦКП, в котором сохранено свойство ортогональности, приведен в табл. 11. В этом плане , , .

Поскольку в ЦКП ортогональность обеспечивается, оценки ко­эффициентов получаются независимо. Однако дисперсии , как видно из приводимой расчетной зависимости, неодинаковы для раз­ных коэффициентов:

; (19)

; . (20)

Таблица 11

Номер опыта				Номер опыта
	–	–	–
	–	+	–
	+	–	–
	+	+	–
	–	–	+
	–	+	+
	+	–	+
	+	+	+

При реализации такого плана, как видно из табл. 11, , в то время как для ПФП .

Адекватная модель второго порядка может использоваться для нахождения оптимального значения факторов (в частном случае оптимальных конструктивных параметров).

Необходимо отметить, что кроме рассмотренных известно большое количество других методов оптимального планирования испытаний, развитых в специальной дисциплине — теории плани­рования эксперимента. К настоящему времени накоплен значитель­ный опыт их использования при испытании составных частей технических систем, главным образом, в про­цессе опытно-конструкторских работ; известны пути приложения методов для оптимизации испытаний отдельных элементов образцов техники. Во всех случаях условием успешного планирования является правильное сочетание цели испытаний с возможностями выбранного метода и учет характера самого изучаемого явления.

Вопросы для самопроверки к разделу 3

1. Как происходит оценка качества модели?

2. Какие свойства модели Вы знаете?

3. В чем цель методов стратегического планирования имитационных экспериментов?

4. Какие методы повышения качества оценок показателей эффективности Вы знаете?

5. Какие основные этапы в общем случае можно выделить при выборе стратегии испытания?

6. Что такое полные факторные планы испытаний?

7. Что такое дробные факторные планы испытаний?

8. Что является целью проверки воспроизводимости?