Решение. Прежде всего следует построить хорошую модель линейного программирования

Прежде всего следует построить хорошую модель линейного программирования. Затем мы сначала решим нашу задачу графическим методом, а потом решением уравнений.

Шаг 1. Определение переменных.

Пусть

х1— количество простых глиняных горшков, производимых за день;

х2 — количество ваз, производимых за день.

Шаг 2. Определение целевой функции. Каждый горшок дает 4 долл. прибыли, а каждая ваза — 5 долл. Цель, Z, состоящая в максимизации прибыли, выражается как

Z= 4 х1 + 5х2.

Шаг 3. Определение ограничений.

а. Ограничение по труду. Изготовляя горшки или вазы, гончар будет работать максимум 40 ч в неделю. Он может работать меньше, но не больше. Каждый горшок требует 1 ч работы, а каждая ваза — 2 ч. Соответственно

х1 + 2х2 ≤ 40.

б. Ограничение по материалам. Гончар имеет максимум 120 фунтов глины в неделю, расходуемой на производство как горшков, так и ваз. Каждый горшок требует 4 фунтов глины, а каждая ваза - 3 фунтов. Соответственно

4х1+ Зх2 ≤ 120.

Шаг 4. Введение ограничений на значение переменных. Физически невозможно произвести отрицательное количество горшков или ваз. Соответственно

х1,х2 ≥ 0.

Эти координаты можно найти, решив одновременно оба уравнения:

А)(х1 + 2х2 = 40) * 3 = Зх1 + 6х2 = 120;

Б)(4х1 + Зх2 = 120) * 2 = 8х1 + 6х2 =240;

Вычитаем А из Б: -5х1 = -120;

х1 = 24;

х1+ 2х2 = 40;

24 + 2х2 = 40;

2х2 = 16;

х2 = 8.

Можно решить задачу также графически:

Шаг 5. Построение горизонтальной и вертикальной оси графика. Обозначим горизонтальную ось х1, а вертикальную ось — х2. Эти оси определяют границы неотрицательных ограничений. Все точки, лежащие выше горизонтальной оси и справа от вертикальной оси, будут удовлетворять этим ограничениям (рис. 3. В 1).

Шаг 6. Построение линии, отражающей первое ограничение. Ограничение по труду выражается неравенством х1 + 2х2 ≤ 40. Если х2 = 0, то х1 ≤ 40, и х1 = 40 дает точку пересечения с осью X. Если х1= 0, то х2 ≤ 20, и х2 = 20 дает точку, пересечения с осью У. Тогда линия х1 + 2х2 = 40, проведенная между двумя этими точками пересечения, даст верхнюю границу затененной зоны, представленной на рис. ЗВ.2. Все точки, лежащие в этой зоне, включая точки на этой линии, будут удовлетворять ограничению по труду.

Рис. ЗВ.2. Ограничение по труду

Шаг 7. Построение линии, отражающей второе ограничение. Ограничение по материалам выражается неравенством 4х1+ Зх2 ≤ 120. Если х2 = 0, то х1 ≤ 30, и х1 = 30 дает точку пересечения с осью X. Если х1 = 0, то х2 ≤ 40, и х2 = 40 дает точку пересечения с осью У. Мы проводим линию 4х1 + 3х2 = 120 между этими точками пересечения (рис. ЗВ.З).

Рис. ЗВ.З. Область допустимых решений, удовлетворяющая всем ограничениям

После выполнения шага 7 линия ограничения по материалам пересекает линию ограничения по труду в точке с координатами (24, 8), как это показано на графике, представленном на рис. 3.В.3. Затененная площадь на рис. ЗВ.З называется областью допустимых решений, поскольку в ней содержатся все сочетания переменных, удовлетворяющие всем ограничениям. Очевидно, что существует громадное количество таких комбинаций: фактически их число бесконечно. К счастью, нам нет необходимости рассматривать любое из возможных сочетаний внутри затененной области, поскольку оптимальное решение нужно искать в одном из углов или в крайних точках.

Второй тип задач оптимизации связан с решений транспортных задач:

Ниже в таблице приведены: объемы запасов одной продукции в складах А1, А2, А3 и; объемы потребления этой продукции в пунктах потребления В1, В2, В3, В4; а также стоимость перевозки единицы продукции из пункта А в пункт В.

Требуется найти такой план перевозок, чтобы вся продукция со складов была вывезена и все потребности были удовлетворены и при этом обеспечивалась минимальная суммарная стоимость перевозок всей продукции от всех складов в пункты потребления.

Решение основано на методе минимального элемента (тарифа). Сущность метода состоит в выборе клетки с минимальным тарифом. Этот метод позволяет найти опорный план транспортной задачи при котором общая стоимость перевозок груза меньше, чем общая стоимость перевозок при плане, найденном для данной задачи с помощью метода северо-западного угла. Поэтому наиболее целесообразно опорный план транспортной задачи находить методом минимального элемента.

В исходной таблице имеются три минимальных элемента, равные 1. Выбираем любой из них, например в левом верхнем углу и заполняем эту клетку числом 30. Недостающий объем 20 заносим в клетку А ₁- В ₄. Далее заполняем аналогично.

Тема 6. Моделирование систем

«Принятие решений составляет суть управленческого процесса, его исходную и наиболее ответственную стадию. Управленческое решение представляет собой обдуманный вывод о необходимости осуществить какие-то действия (либо, наоборот воздержаться от них), связанные с достижением целей организации и преодолением стоящих перед ней проблем. Это процесс выбора из множества имеющихся альтернатив (целей, способов действия и проч.) наиболее предпочтительной.»

Поэтому принятие решения выступает как процесс, требующий организации и управляющие в данных условиях получить требуемый результат. Такое несоответствие преодолевается путем принятия управленческого решения. Поскольку для одной и той же проблемы обычно существует несколько вариантов, её решения, возникает непростая задача выбора наиболее подходящего. Кроме того, решением можно считать: последовательность действий по достижению поставленной цели; нечто отражающее такое достижение (объект, состояние и др.); психологическую реакцию на раздражитель; управленческий акт, выраженный в письменной или устной форме и регламентирующий те или иные действия, состояния, изменения и проч. В последнем случае решение содержит постановку целей и описание средств их достижения и служит основой организации практической деятельности людей.

В зависимости от уровня управляющего субъекта могут меняться сфера обязательного применения его решений и круг объектов, на которые оно распространяется. Решения требуют их тщательной и всесторонней подготовки, на которую уходит много сил и средств. Тем не менее успеха можно достичь не всегда из-за невозможности учесть все факторы, предопределяющие результат и воздействовать на них. Эффективное решение должно быть: простым, логичным, экономичным и своевременным; устраняющим причины, а не следствия проблемы.