Базовые понятия

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Базовые понятия

Динамическая система – это физическая система, состояние которой изменяется во времени под действием входных сигналов и (или) возмущений.

Состояние динамической системы полностью и однозначно определяется совокупностью переменных состояния x₁, x₂, x₃,..., x_n.

Состояние системы в момент времени t₁ может быть определено, если известны состояние ее в момент времени и значение входного воздействия в момент времени t₁.

Пространство состояний – это пространство, в котором каждой точке соответствует определенное состояние системы, а положение этой точки определяется значениями переменных состояния.

Вектор состояния – это совокупность переменных состояния:

(4.1)

n-мерный вектор.

Начальное состояние системы характеризуется начальным вектором состояния:

(4.2)

Трехмерное пространство состояний.

Вектор состояния

. (4.3)

Координатами вектора состояния X(t) являются три переменных состояния: x₁, x₂, x₃.

Конец вектора состояния X(t) при изменении времени t описывает кривую, которая называется фазовой траекторией (рис. 4.1). Таким образом, фазовая траектория отображает процесс изменения состояния системы во времени.

Вектор состояния X(t) будет полностью и однозначно определять состояние физической системы только в том случае, если его размерность будет равна размерности системы.

Выбор переменных состояния для физической системы неоднозначен, т. е. для одной системы возможны различные комбинации переменных состояния.

Уравнение состояния системы – динамическая модель описывает поведение динамической системы, представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме (в форме Коши).

Уравнение состояния системы ввекторно-матричной форме имеет вид:

(4.4)

где X – n-мерный вектор состояния;

t – независимая переменная;

u – вектор входных воздействий (в общем случае),

. (4.5)

Уравнение (4.4) описывает динами-ческую систему. Решение уравнения (4.4) представляет собой модель процессаX(t), имеющего место в данной системе при заданных начальных условиях и входном воздействии u(t). Таким образом, в системе может рассматриваться множество процессов, соответствующих заданному множеству начальных условий и множеству входных воздействий.

Достоинства математического описания физических систем в пространстве состояний:

возможность с единой позиции рассматривать стационарные и нестационарные, линейные и нелинейные системы;

возможность учитывать ненулевые начальные условия;

наличие достаточного количества численных методов реализации таких математических моделей;

возможность более разностороннего изучения физической системы путем формирования нескольких моделей в разных пространствах состояний.