Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Методические указания 3 page
Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) (2.48) первый корень характеристического уравнения (2.16):
(2.52)
В выражение (2.50) подставим первый корень характеристического уравнения (2.16) и получим:
(2.53)
Найдем, подставив вместо в выражении (числитель) (2.48) второй корень характеристического уравнения (2.17):
(2.54)
В выражение (2.50) подставим, второй корень характеристического уравнения (2.17) и получим:
(2.55)
Подставляем найденные значения (2.52), (2.53), (2.54) и (2.65) в выражение (2.51):
(2.56)
Расчет классическим методом (2.43) и операторным методом (2.56) практически совпадают, с учетом допустимой погрешности, можно сделать вывод, что переходная характеристика найдена, верно.
2.3 Расчет переходной характеристики цепи классическим методом при условии, что корни характеристического уравнения будут комплексно- сопряженные
Для того, что бы показать расчет переходной характеристики в случае, если корни характеристического уравнения будут комплексно – сопряженные, возьмем другую схему четырехполюсника с другими параметрами заданной цепи. Рисунок 2.4 – Рассчитываемая цепь до коммутации
Параметры заданного четырехполюсника:
Производим анализ цепи до коммутации. В результате этого анализа определяю токи во всех ветвях электрической цепи и напряжение на ёмкости в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t=0_).
(2.57)
По законам коммутации:
(2.58)
Независимые начальные условия равны:
(2.59)
Составляем систему дифференциальных уравнений на основании законов Кирхгофа, описывающую процесс в цепи после коммутации (t≥0):
Рисунок 2.5 – Рассчитываемая цепь после коммутации
Направления обхода контура выбираем произвольно (рисунок 2.5), .
(2.60)
Ток представим в виде суммы установившегося и свободного режима цепи:
(2.61)
Определим ток в установившемся режиме цепи после коммутации. Так как на входе цепи включена ёмкость, то в установившемся режиме работы цепи все токи будут равны нулю.
(2.62)
Определим свободную составляющую тока для этого необходимо, получить характеристическое уравнение цепи после коммутации. Наиболее простой способ составления характеристического уравнения – метод входного сопротивления.
Запишем характеристическое уравнение заданного четырехполюсника (рисунок 2.5):
(2.63)
Заменяем в выражении (2.63) на и приравниваем его к нулю:
(2.64)
Приравняем к нулю числитель выражения (2.64):
(2.65)
Уравнение (2.65) является характеристическим уравнением цепи. Характеристическое уравнение цепи можно составить другим способом. Запишем определитель исходной системы уравнений и приравниваем его к нулю:
(2.66)
Выполнив необходимые преобразования, получим:
(2.67)
Приравняв к нулю числитель выражения (2.67), получим:
(2.68)
Полученное квадратное уравнение (2.67) полностью совпадает с квадратным уравнением (2.65).Обоими способами были получены абсолютно идентичные уравнения и соответственно можно сделать вывод, что расчеты выполнены правильно.
Подставив числовые значения параметров цепи в характеристическое уравнение (2.68), вычислим его корни:
(2.69)
Дискриминант получился , находим корни:
(2.70)
(2.71)
(2.72)
(2.73)
Корни характеристического уравнения комплексно – сопряженные, поэтому характер переходного процесса – колебательный, следовательно свободная составляющая тока будет иметь вид:
(2.74)
где , - постоянные интегрирования.
Для расчета постоянных интегрирования определим зависимые начальные условия. Запишем исходную систему уравнений (2.60) для :
(2.75)
Из независимых начальных условий ,
Из второго уравнения системы уравнений (2.75) определяем :
(2.76)
Из третьего уравнения системы уравнений (2.75) определяем :
(2.77)
Подставляем значений второго тока и третьего тока (2.76) в первое уравнение системы уравнений (2.75) и получаем значение первого тока в нулевой момент времени :
(2.78)
Продифференцируем первое и второе уравнение системы уравнений (2.75) и запишем их для :
(2.79)
Из второго уравнения системы уравнений (2.79) находим , подставляя известные значения конденсатора , значения сопротивлений и значения первого тока в нулевой момент времени (2.78):
(2.80)
Определим постоянные интегрирования и для определения свободной составляющей третьего тока (2.74) Так как установившаяся составляющая тока третьего равна нулю, то ток в цепи будет определяться только свободной составляющей:
(2.81)
Продифференцируем уравнение для тока (2.81) и запишем их для :
(2.82)
Запишем уравнение (2.81) для :
(2.83) Из двух уравнений (2.82) и (2.83) составим одну систему уравнений:
(2.84)
Решаем систему уравнений (2.84), подставляя известные численные значения (2.76), (2.80), (2.73), (2.73) и находим постоянные интегрирования и :
(2.85)
Подставляем полученные постоянные интегрирования (2.85) в выражения для искомого тока третьего (2.81):
(2.86)
Таким образом, переходная характеристика заданного четырехполюсника имеет вид:
(2.87)
2.4 Расчет переходной характеристики операторным методом Рисунок 2.6 –Рассчитываемая цепь в операторном виде
На вход рассчитываемой цепи подается напряжение , в операторном виде это напряжение будет равно .
Запишем операторное сопротивление цепи:
(2.88)
Запишем выражение для первого тока в операторном виде:
(2.89)
Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:
(2.90)
Запишем выражение выходного напряжения в операторном виде:
(2.91)
Обозначим числитель и знаменатель дроби (2.91) соответственно и :
(2.92)
Приравниваем знаменатель выражения (2.92) к нулю - и находим корни заданного квадратного уравнения:
(2.93)
Уравнение (2.93) абсолютно совпадает с уравнением (2.68) соответственно корни будут одинаковые:
(2.94)
(2.95)
Найдем производную от знаменателя дроби (2.92) то есть :
(2.96)
Применяя теорему разложения, определим оригинал по формуле:
(2.97)
Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) (2.92) первый корень характеристического уравнения (2.94):
(2.98)
Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) (2.92) второй корень характеристического уравнения (2.95):
(2.99)
В выражение (2.96) подставим, первый корень характеристического уравнения (2.94) и получим:
(2.100)
В выражение (2.96) подставим второй корень характеристического уравнения (2.95) и получим:
(2.101) Подставляем найденные значения (2.98), (2.99), (2.100) и (2.101) в выражение (2.97):
(2.102)
Расчет классическим методом (2.87) и операторным методом (2.102) совпадают, с учетом допустимой погрешности, можно сделать вывод, что переходная характеристика найдена, верно.
3 Расчет импульсной характеристики заданного четырехполюсника
Импульсной характеристикой линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади этого импульса при нулевых начальных условиях:
Импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса , а размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1 называется единичным импульсом. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается и называется - функцией или функцией Дирака:
При
3.1 Расчет импульсной характеристики операторным методом в случае вещественных различных корней характеристического уравнения цепи
Рисунок 3.1 – Операторная схема заданного четырехполюсника
На вход рассчитываемой цепи подается напряжение , в операторном виде это напряжение, для расчета импульсной характеристики, будет равно .
Запишем операторное сопротивление цепи:
(3.1)
Запишем выражение для первого тока в операторном виде:
(3.2)
Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:
(3.3)
Запишем выражение для выходного напряжения в операторном виде:
(3.4)
Выполним обратное преобразование Лапласа с помощью теоремы разложения. Обозначим числитель и знаменатель дроби (3.4) соответственно и :
(3.5)
Приравниваем знаменатель выражения (3.5) к нулю - и находим корни заданного квадратного уравнения:
(3.6)
Корни заданного уравнения будут совпадать с корнями при расчете переходной характеристики, так как заданные уравнения идентичны:
(3.7)
(3.8)
Найдем производную от знаменателя дроби (3.5) то есть :
(3.9)
В соответствии с теоремой разложения имеет вид:
(3.10)
Найдём подставив вместо в выражении (числитель) (3.5) первый корень характеристического уравнения (3.7):
(3.11)
В выражение (3.9) подставим, первый корень характеристического уравнения (3.7) и получим:
(3.12)
Найдем, подставив вместо в выражении (числитель) (3.5) второй корень характеристического уравнения (3.8):
(3.13)
В выражение (3.9) подставим, второй корень характеристического уравнения (3.8) и получим:
(3.14)
Подставляем найденные значения (3.11), (3.12), (3.13) и (3.14) в выражение (3.10):
(3.15)
Получили выражение, представляющее собой импульсную характеристику заданного четырехполюсника (3.15).
Графики переходной и импульсной характеристик, в случае когда корни характеристического уравнения являются вещественными различными, построены в системе Mathcad 2001 Professional и приведены в Приложении Б.
Данные расчёта переходной и импульсной характеристик в случае, если корни характеристического уравнения будут вещественными различными, приведены в таблице 3.1.
Таблица 3.1 – Данные расчета переходной и импульсной характеристик, в случае, если корни характеристического уравнения будут действительными
3.2 Расчет импульсной характеристики четырехполюсника для случая комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения. Рассмотрим на примере четырехполюсника, операторная схема замещения которого приведена на рисунке 3.2.
Рисунок 3.2 - Операторная схема заданного четырехполюсника
Параметры заданного четырехполюсника:
На вход рассчитываемой цепи подается напряжение , в операторном виде это напряжение, для расчета импульсной характеристики, будет равно .
Запишем операторное сопротивление цепи:
(3.16)
Запишем выражение для первого тока в операторном виде:
(3.17)
Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:
(3.18)
Запишем выражение для выходного напряжения в операторном виде:
(3.19)
Выполним обратное преобразование Лапласа с помощью теоремы разложения. Обозначим числитель и знаменатель дроби (3.19) соответственно и :
(3.20)
Приравниваем знаменатель выражения (3.20) к нулю - и находим корни заданного квадратного уравнения:
(3.21)
|