Расчет методом конечных разностей двухопорной балки

Для стержневых систем свободная консоль статически определима и эту систему уравнений обычно не используют, а для пластин и оболочек без подобной системы уравнений не обойтись.

Рассмотрим применение метода конечных разностей к решению
задачи изгиба двухопорной балки, загруженной треугольной нагрузкой
(рис. 8.6), для которой известно
точное решение, чтобы можно было произвести оценку результатов.

Воспользуемся вначале уравнением в виде (8.6) и определим изгибающие моменты в системе:

.

Записывая производную в
конечно-разностном виде (8.2),
получим уравнение для произвольного i -го узла в виде:

. (8.11)

Разобьем балку на четыре части ( м) и составим уравнение (8.11) для точек 1, 2 и 3, принимая последовательно i равным номерам этих точек:

При этом согласно граничным условиям будем иметь: и .

Решая эту систему уравнений, найдем: ; ; . Эти значения совпадают с точными результатами.

Проверим: ;

... и т.д.

Для определения прогибов системы воспользуемся теперь уравнением (8.5):

.

В конечных разностях для произвольного i -го узла с учетом (8.2) это уравнение будет иметь вид:

. (8.12)

Записав уравнение (8.12) для точек 1, 2 и 3, получим систему уравнений:

Учитываем граничные условия (, ) и решаем систему уравнений. Получим: