Понятие об аппроксимации функций. Виды аппроксимации. Интерполирование. Приближение и его оценка

Часто в результате экспериментальных данных или расчетов получаем зависимость в виде определенного числа точек (в виде дискретного множества), то есть для функции неизвестна зависимость, а известны только некоторые её промежуточные результаты. Получению зависимостей для таких функций в требуемой области и служит задача об аппроксимации функций (рис. 5.1).

Аппроксимация функций – это нахождение функции , максимальной близкой действительной функции , так чтобы отклонение её, по крайней мере, в заданной области изменения аргумента x было наименьшим.

Функцию показывают аппроксимирующей.

Подобный подход используется и в методе конечных элементов, где задаются аппроксимирующие функции для перемещений, которые в дальнейшем должны дать близкие к действительным перемещения (деформации) и усилия.

Для аппроксимации часто используют многочлены вида

, (5.1)

где коэффициенты a_i подбирают из определенных условий так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от действительной функции.

Если приближение строится на дискретном множестве точек, то аппроксимация называется точечной (рис. 5.1).

Если приближение строится для непрерывной функции на некотором отрезке , то
аппроксимация называется непрерывной или
интегральной (рис. 5.2).

Одним из основных видов точечной аппроксимации является интерполирование.

Оно состоит в следующем: задаем многочлен, которой должен принимать в известных точках х_i те же значения y_i, что и заданная дискретно функция y = φ (х); то есть в этих точках должно быть φ (х_i) = y_i, . При этом точки х_i называются узлами интерполяции, а многочлен y (х) – интерполирующим многочленом. Интерполяция может быть глобальной (на всем участке изменения аргумента х) и локальной (кусочной) – на отдельных участках изменения функции.

В случае большого количества точек, часто невозможно найти многочлен, который бы проходил через все эти точки (тем более, что и при получении точек в эксперименте могут быть погрешности и ошибки). В этих случаях находят такой многочлен, который проходил бы максимально близко от заданных точек. Понятие «близко» оценивается разными путями.

Одной из распространенных мер отклонения многочлена от заданной функции является среднеквадратичное приближение, определяемое

выражением . (5.2)

Задача состоит в подборе интерполирующего многочлена таким образом, чтобы S было наименьшим.

Приближение функции φ (х) к f (х) может оцениваться и на основе абсолютного отклонения Δ, равного

, (5.3)

либо вводят понятие среднеквадратичного отклонения

, (5.4)

для которых задают допустимые величины отклонений ().