Введение 5 page

Рис.4.2. Восемь микросостояний макроячейки с относительной энтропией S_m/k_B =log₂8= 3. (8 равновероятных исходов)

невозбужденный уровень;

возбужденный уровень

Различие между формулами заключается еще в том, что термодинамическая энтропия аддитивна только с точностью до числа частиц в макроячейке, а больцмановская энтропия,как и информационная, – до одной частицы.

В этой связи еще раз напомним об интегративных свойствах систем – относительно энтропии как термодинамическом понятии имеет смысл говорить только на уровне не меньшего числа частиц, чем их содержится в макроячейке.

4.6.Энтропия как критерий максимального правдоподобия. В литературе этот принцип известен как формализм Джейнса, по имени американского физика Е.Т.Джейнса, предложившего использовать информационную энтропию в качестве критерия максимального правдоподобия в ситуациях, когда целью математического моделирования является поиск наиболее вероятного распределения. [22]. Характер искомых распределений может быть самый разнообразный: от задач статистической физики и термодинамики [23] до экономических задач [24].

Начнем демонстрацию этого формализма с классического примера. Какое распределение случайной величины х является наиболее правдоподобным?

Введем дисперсию случайной величины

, (4.19)

а также условие нормировки вероятностей

, (4.20)

Это выражение подобно в случае дискретного множества.

Интегрирование осуществляется в интервале изменения переменной x.

Согласно формализму Джейнса необходимо ввести информационную энтропию (4.9)

. (4.9)

Теперь формально задача сводится к условной экстремальной задаче в следующей постановке: требуется найти такую функцию плотности распределения , которая бы отвечала максимальному значению энтропии (4.9) при соблюдении ограничений (4.19) и (4.20). Решение этой задачи хорошо известно

.

Это выражение есть не что иное, как нормальный (гауссовский) закон распределения.

В этой задаче информационная энтропия (4.9) использовалась как критерий максимального правдоподобия. Этот метод называется моделированием по принципу статистического вывода. Его можно отнести к методу «серого ящика». При моделировании по принципу статистического вывода большое значение приобретает формулировка ограничений при постановке задачи.

Рассмотрим постановку и результаты решения на другом классическом примере, но теперь принадлежащем к области химической техники. Требуется найти закон наиболее вероятного распределения m-компонентной смеси между двумя выходными потоками – дистиллятом и кубовым остатком процесса ректификации. Далее изложена математическая формулировка и основной ход решения такой задачи.

П о с т а н о в к а з а д а ч и. Обозначим концентрации компонентов в дистилляте , в кубовом остатке , в питании . Долю отбора дистиллята будем обозначать (иногда индекс будем опускать); – доля отбора кубового остатка:

; ,

где D, W и F – мольные расходы дистиллята, кубового остатка и питания (см.рис.4.2). Здесь и далее все потоки и концентрации будут выражаться в естественных единицах – молях и мольных долях. Запишем исходную достоверную, но в общем случае, как мы выясним, неполную информацию о процессе

; ; (4.21)

; (4.22)

(4.23)

Уравнение (4.21) есть уравнение материального баланса для компонента i. Уравнение (4.22) – условие нормировки. Другое условие нормировки опущено, так как при заданных и оно не является независимым. Последнее уравнение (4.23) вводит свойства компонентов через коэффициенты и означает, что колонна работает в режиме, характеризующемся средним значением этих свойств для текущего состояния - . Физический смысл коэффициентов в уравнении (4.23) раскрывается в ходе решения задачи. Параметром задается степень разделения смеси в колонне, что является особенностью постановки задачи при использовании принципа статистического вывода. Однако, когда задача будет формально решена, ее можно переформулировать и характеризовать степень разделения не параметром , значение которого бывает неизвестным, а обычным способом – фиксированием какой-либо концентрации в одном из продуктовых потоков, при заданных отборах продуктов.

В системе из m +2 уравнений (4.21) – (4.23) имеется 2 m неизвестных ( и ). Это означает, что только в случае ректификации бинарной смеси (m =2) степень разделения, заданная одним параметром < а >, однозначно определяет составы продуктов. При многокомпонентной ректификации (m >2) система уравнений будет незамкнутой. Не привлекая каких-либо постулатов частного характера, найдем всю недостающую информацию лишь как наиболее вероятную, используя принцип максимальной информационной энтропии.

Математически формулировка задачи поиска закона распределения компонентов между продуктовыми потоками сводится к следующему: требуется найти такие значения и , которые бы доставляли максимальное значение энтропии

при соблюдении ограничений (4.21) – (4.23). Величины , , , , рассматриваются как фиксированными.

Для решения этой условной экстремальной задачи используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Сущность метода заключается в переходе от условной экстремальной задачи к обычной безусловной путем введения функции Лагранжа.

Переход к замкнутой системе уравнений. Введем множители Лагранжа , и l соответственно для ограничений (4.21) – (4.23) и составим функцию Лагранжа

Взяв производные от этой функции по переменным и и приравняв производные нулю, находим необходимые условия максимума энтропии. Полученные таким образом уравнения вместе с ограничениями (4.21) – (4.23) дают замкнутую систему уравнений для определения следующих 3 m +2 неизвестных: , , , и l.

Идентификация феноменологических коэффициентов. В ходе решения замкнутой системы алгебраических уравнений можно раскрыть физический смысл коэффициентов и . Для этой цели используется требование согласованности общего искомого решения с известными термодинамическими решениями для частного случая – термодинамическое равновесие. Подробности можно найти в работе [25].

Результат решения. Здесь приведем окончательный результат только для одного случая, когда задана требуемая концентрация в дистилляте – .

,

,

где –относительная летучесть компонента i; К_i K_э –константа фазового равновесия i-го компонента и компонента, принятого за эталонный (обычно эталонным принимается самый высококипящий компонент смеси).

Значение параметра l находится из характеристического уравнения

.=1

Интересно отметить, что, как показывает анализ, множитель Лагранжа l с учётом термодинамической теории равновесной ректификации есть минимальное число теоретических массобменных ступеней контакта, которые необходимы для получения заданной концентрации - на основе состава исходной смеси.

Обсуждение результатов. В стационарном режиме любые изменения в составе одного из продуктовых потоков ректификационной колонны, дистиллята или кубового остатка вызывают изменение в другом потоке. В этом смысле дистиллят и кубовый остаток можно рассматривать как две взаимодействующие неравновесные фазы. Механизм этого взаимодействия для многокомпонентных систем сложен и зависит от множества факторов термодинамического, гидродинамического и конструктивного характера. Если пытаться постулировать модель взаимодействия этих фаз в традиционном детерминистском стиле, то пришлось бы столкнуться с двумя альтернативными решениями.

Первое свелось бы к существенному упрощению процесса, например, сведению многокомпонентной системы к двухкомпонентной.

Второе решение связано с вовлечением в описание возможно большего числа факторов. Например, в кинетической теории ректификации для каждого компонента вводятся эмпирически определяемые коэффициенты массообмена, которые, в свою очередь, связываются с гидродинамической структурой потоков и типом массообменного устройства. Но даже и во втором случае, где учитывается большее число факторов, влияющих на процесс, нет уверенности в том, что мы располагаем адекватным описанием объекта. Во-первых, введение любых новых факторов сопровождается некоторой упрощенной схемой их воздействия на процесс, во-вторых, детерминированный способ описания не позволяет в теоретической форме учитывать стохастическую составляющую процесса, которая всегда присутствует в реальном объекте. Таким образом, модели, претендующие на адекватное описание, должны учитывать фактор неопределенности и стохастичности, что и достигается в моделировании по принципу статистического вывода. Этот подход можно отнести к методу «серого ящика»: хотя в деталях мы не знаем как устроена система, тем не менее располагаем некоторыми очевидными ограничениями (4.21), (4.22) и способны предугадать характерную структуру (4.23). В предугадывании проявляется необходимость интуитивного мышления, о котором уже упоминалось как об одной из составляющих всякого системного мышления (см. п.1.1). На примере расчета по методу «серого ящика» раскрывается еще одна методологическая особенность подхода – возможность достижения в нем разумного, «экономного» сочетания объема теоретического и экспериментального содержания в математической модели системы. Например, многочисленные попытки внедрить в практику расчета ректификации моделей на основе коэффициентов массообмена представляются сегодня не системными, а потому малоперспективными.

При системной постановке задачи мы надеемся получить решение, наименее предвзятое из всех, которые можно было бы принять в условиях объективно существующей неопределенности. Конечно не всегда случайное распределение – гауссово, как подсказывает информационный принцип максимального правдоподобия. Это же можно сказать и о других задачах. Что касается разделительных систем, то метод дает адекватное описание систем, близких к идеальным растворам. Это не случайно, поскольку мы знаем, что информационная энтропия, записанная в классической форме, (см. п.4.1) не учитывает «шумы» (см. п.4.2). Учет шумов это перспектива, в которой следует развивать рассматриваемый метод.

4.7. Количество информации как критерий степени организованности системы. Вместо термина «неопределенность» можно использовать понятие неупорядоченность, разнообразие, хаос (см.п.4.4.). Тогда вместо определения «устраненная неопределенность» можно употребить термин «блокированное разнообразие».

В кибернетике биологом и кибернетиком Эшби [26] был сформулирован закон «необходимого разнообразия»:

Рис.2.5-1. Схема внешних материальных потоков ректификационной колонны

«каждая система, блокирующая разнообразие, должна иметь собственное разнообразие, не менее блокированного.»

Или короче – «только разнообразие может уничтожить другое разнообразие».

Эта почти философская трактовка проводит очень простой принцип. Процесс с возрастанием энтропии происходит самопроизвольно. Например, для того чтобы на базе составов выходных потоков ректификационной колонны получить состав входного потока достаточно смешать продуктовые потоки и диффузионный процесс смешения пойдет «сам собой».

Другое дело обратный процесс – процесс разделения. Он происходит с понижением энтропии и для его осуществления требуется некоторая организация процесса, например, наличие специальных установок – ректификационных колонн определенной сложности. Степень организованности такой системы и предлагается оценивать на основе устраненной системой неупорядоченности или количеством блокированного разнообразия.

Критерий оценки степени организованности системы в общем виде записывается как отношение

,

где , – энтропия, оценивающая неупорядоченность потоков на входе и выходе любой системы.

В термодинамической интерпретации для разделительной системы этот критерий есть отношение термодинамически минимальной работы разделения исходной смеси на заданные продукты к аналогичной работе разделения на абсолютно чистые продукты.

Поскольку разность в числителе есть количество информации, то этот критерий можно рассматривать также как информационный

.

Для ректификации согласно (4.12)

,

и

,

тогда

. (4.24)

С помощью этого критерия удобно оценивать разделительную способность (разделительную мощность) колонны, – чем больше разность , т.е. количество информации, тем выше разделительная способность колонны и тем выше качество разделения.

Критерий (4.24) нормирован на единицу. Максимально возможная разделительная способность соответствует и . Тогда и . Это отвечает гипотетическому случаю, когда колонна делит бинарную смесь на чистые продукты или многокомпонентную смесь на две чистые фракции. Практически такой режим недостижим, так как требуется колонна с неограниченным числом ступеней разделения. Наоборот, когда процесс сводится к простому делению смеси на два потока исходного состава, то и .

Выражение (4.24) применяется как критерий оптимальности в задачах оптимизации процессов разделения (см. п.5.4). При этом критерий (4.24) используется как относительная оценка качества разделения.

В общем случае число выходных потоков из системы может быть любым. Естественно добиваться максимального значения критерия для действующей колонны. Если величина при этом фиксирована (состав питания задан), то максимизация сводится к минимизации энтропии выходных потоков. Таким образом, в задачах оптимизации с фиксированной энтропией входных потоков реализуется принцип м и н и м а л ь н о й энтропии.

Следует обратить внимание на разнообразие функций, выполняемых энтропией. Так, в предыдущем разделе, где речь шла о моделировании процессов, использовался прямо противоположный принцип – м а к с и м а л ь н о й энтропии.

При моделировании процессов (см. в п.3.7) о познавательных моделях) мы пытаемся как бы «подстроиться» под природу, которая при прочих равных условиях предпочитает состояния с максимальной энтропией. Но максимум энтропии это и максимум беспорядка, поэтому при проектировании систем мы стараемся там, где это возможно, уменьшить максимум. В этом смысле энтропия в инженерных задачах носит как бы м и н и м а к с н ы й характер.

5. КРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР

АЛЬТЕРНАТИВНЫХ РЕШЕНИЙ

5.1. Постановка задачи оптимизации. Одной из особенностей инженерных задач является многовариантность инженерных решений. Поясним это на примере проектного расчета кожухотрубного теплообменника. Пусть на основе соответствующего математического описания рассчитана требуемая поверхность теплообмена – F. В ходе расчета поверхности теплообмена был выбран также диаметр трубок – d. Теперь задача заключается в конструктивной реализации поверхности – F, т.е. выборе числа и длины трубок – n и l в соответствии с геометрией F =p dln. Поскольку в этом выражении фиксированы только параметры F и d, то один параметр из двух оставшихся (l, n.) оказывается свободным.

Это означает, что требуемая поверхность теплообмена может быть конструктивно реализована различным способом, многими вариантами. Все варианты в одинаковой степени работоспособны и таким образом соответствуют поставленной цели. Воспользуемся теперь системным понятием эффективности системы. Эффективность есть качество достижения цели, т.е. указание на то, с какими затратами достигнута цель (см. п.2.2). Под затратами можно понимать разные оценки. Например, качество достижения цели можно измерять в данном примере металлоемкостью конструкции. В этом случае принято говорить, что металлоемкость выступает в качестве критерия оптимальности (Р) для выбора лучшего, или оптимального варианта. На рис.5.1 представлен характер зависимости критерия оптимальности от числа трубок в теплообменнике. Оптимальное число трубок n = n_opt соответствует минимальному значению критерия Р.

Критерий оптимальности часто называют также целевой функцией или функцией выгоды.

В данном примере участвует один независимый свободный, или варьируемый параметр (n или l.). Число варьируемых параметров определяет порядок, или ра з мерность задачи оптимизации.

Таким образом, оптимальным значением параметра называем такое его значение, при котором некоторая функция, играющая роль критерия оптимальности, достигает экстремального значения (максимума или минимума).

Различие между строго научным (системным) пониманием оптимальности и «общежитейским» толкованием заключается в том, что в строгой системной постановке термин «оптимальный» предполагает наличие критерия оптимальности.

Задачи оптимизации отличаются по постановке от обычных задач только наличием блока критерия оптимальности. Выбор критериев диктуется особенностью задачи. Далее рассматриваются основные типы критериев оптимальности.

5.2. Экономические критерии оптимальности. На примере ректификационной установки рассмотрим, как появляется необходимость в специальном критерии оптимальности экономического характера. Пусть требуется разделить исходную смесь на два продукта (дистиллят и кубовый остаток). Свойство ректификационной системы таково, что одну и ту же степень разделения можно достичь различными способами. В частности, возможен вариант с достаточно большим числом массообменных ступеней разделения (массообменных тарелок – N), но с малой подачей пара в куб колонны – Q (рис.5.2, вар.1). Возможны и другие варианты: с малым числом тарелок, но значительными затратами пара (рис.5.2, вар.2).

Выражаясь языком системного аналитика можно сказать, что цель систем одинакова, а качество достижения цели, т.е. их эффективность различна. Каким образом оценить эффективность этих вариантов? Для этого необходимо иметь в виду, что число массообменных ступеней разделения связано с разовыми, капитальными затратами (руб.), а расход пара – с постоянными эксплуатационными затратами (руб./ед. времени).

При общей оценке необходимо сложить эти два типа затрат, приведя их к одной размерности. Эту функцию выполняет экономический критерий приведенных затрат (Р)

Р = С + ЕК/В,

где С – себестоимость, руб./ед. прод.

К – капитальные затраты, руб.

В – производительность, ед. прод./год.

Е – нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений, Е = 0.15 1/год. Обратная величина этого коэффициента соответствует нормативному сроку окупаемости капитальных вложений.

Экономический критерий приведенных затрат достаточно часто используется в практике проектирования, разрешая компромисс между капитальными и эксплуатационными затратами (см. рис.5.2).

В задачах оптимального управления, в которых капитальные затраты фиксированы, в качестве критерия оптимальности может использоваться прибыль.

Пр = В(Ц – С),

где Ц – цена продукции, руб./ед. прод.

Экономические критерии являются наиболее общими: они учитывают как капитальные, так и эксплуатационные затраты. Их недостаток – требование большого количества надежной информации о текущем состоянии рынка.

5.3. Термодинамические критерии оптимальности. Термодинамические критерии в отличие от экономических оценивают энергетическое совершенство систем. При этом такая оценка производится на фундаментальной термодинамической основе. Чаще всего для этой цели применяется термодинамический КПД системы, как отношение двух работ

h = А_о/А, (5.1)

где А_о – термодинамически минимальная работа для осуществления заданного процесса; А – фактически затрачиваемая работа.

Cледует обратить внимание, что в термодинамическом критерии (5.1) используется отношение работ, а не энергий вообще. Но в реальных системах происходят процессы с затратой как работы, так и тепла. Для термодинамически корректного перехода от тепловой энергии к механической в современной инженерной практике используется понятие эксергии (Е). Эксергия теплоты – работоспособная энергия, максимальное количество механической энергии, которое можно получить из тепловой энергии Q c температурой Т при стандартной температуре окружающей среды Т _о=298 К

Е = Q(1- (T_о/T), где Т > Т₀

Нетрудно заметить, что в скобках стоит КПД цикла Карно.

Выражение для минимальной работы разделения относится к любому процессу разделения, а не только к ректификации. Например, сравнительно низкое значение термодинамического КПД для ректификации, несколько процентов, указывает на несовершенство этого способа разделения в принципе. Не случайно природные системы, которые не могут обходиться без разделительных процессов, тем не менее, не используют принципы ректификации, а «изобрели» процесс разделения с помощью мембран. Для мембранного разделения термодинамический КПД на порядок выше. Широкомасштабному внедрению мембранной техники в промышленную практику препятствуют пока высокие капитальные затраты.

Термодинамический КПД, как было указано, оценивает энергетическое совершенство системы и не учитывает капитальных затрат. Предпринимались попытки ввести термоэкономические критерии, но они не получили достаточного распространения.

5.4. Информационный критерий оптимальности. В качестве информационного критерия оптимальности может быть использован рассмотренный ранеекритерий оценки степени организованности системы (см.п 4.7). Особенность использования этого критерия вновь продемонстрируем на типовой системе химической техники – ректификации.

Критерий оценки степени организованности системы (4.24), который для процессов разделения имеет смысл показателя, оценивающего качество разделения, позволяет сгруппировать основные режимные и конструктивные параметры процесса ректификации в две группы. Для уяснения сущности такого деления рассмотрим характер зависимости критерия (4.24) от основных режимных и конструктивных параметров, характеризующих процесс ректификации: N – число теоретических тарелок; R – флегмовое число; – относительный отбор верхнего (нижнего) продукта; – параметр, характеризующий место ввода питания в колонну. Здесь – число теоретических тарелок в верхней секции колонны. Таким образом. рассматривается зависимость

при варьировании одного из параметров и фиксированных значениях остальных. На рис.5.4 представлен характер этих зависимостей.