УДК 524,8 2 page

То, что сделано, называется сближением или рядом расположением. Соединение, а тем более слияние, отсутствует по той причине, оно еще не введено в конструкцию. Вводя слияние как противоположность разделению, возвращаемся к конструкции рис 2 (рис. 11).

Рис. 11

Из рассмотрения вышеизложенного получаем следствие: Мир, который видится дискретным, состоящим из отдельных тел, таковым не является. В нем присутствует еще одно качество, противоположное дискретности - сплошность. Причем роль этих качеств различна:

дискретность делает мир узнаваемым, позволяя в определенной степени вычленять из мира тела и рассматривать их как отдельные объекты и, прежде всего, вычленять из мира себя (Я и все остальное).

сплошность делает мир целым, телесным, обеспечивая его существование, как и всего, что есть, так и того, чего нет, т.е. нам неизвестного. И, следовательно, никак не может быть воспринят дискретным (отдельным). В сплошности (непрерывности) «отдельное» отсутствует.

Самое поразительное, что сплошность мира люди, особенно связанные с наукой, воспринимают как пустоту, как отсутствие всего, то есть бестелесное, что объяснимо, т.к. диалектические понятия «все» и «ничто» равнозначны (равноправны).

1.3. Введение в диалектику математических

понятий

Рассмотрим понятия, связанные с геометрией. Самое распространенное определение понятия «геометрия» приводится в [1]:

«… часть математики, изучающая пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, схожие с пространственными по своей структуре».

В этой формулировке объект «геометрия» обобщается словами «пространственные отношения и формы». Начнем с формы.

Форма как наружный вид, внешние очертания или конфигурация доступна всем, поскольку отождествляется с поверхностью тела. Последняя, в свою очередь, является границей, позволяющей увидеть или иным образом ощутить отдельность тела. Например, выражение «тело по форме напоминающее шар» понятно всем как название сферически замкнутой поверхности. Тело, отображаемое в своей форме, может двигаться (нефиксируемое самодвижение), либо покоиться (оставаться относительно неподвижным), либо изменяться (деформироваться). Самодвижение и механическое изменение формы всегда связано с взаимодействием и движением. Таким образом, геометрия, изучая форму предметов, помимо статики неявным образом соприкасается не только с математическим, но и с механическим движением, т.е. с физикой. Другое дело, понимают ли это математики или наличие фактора движения в геометрии ускользает от их внимания.

Очень существенно для понимания то, что форма это не самостоятельное качество тел, а следствие отдельности, ее проявление. Отдельность, в свою очередь, следствие всеобщей дискретности, которая фиксируется в нашем мире. В то же время отдельность (единичность) это отношение двух: субъекта и объекта, которое в совокупности образует еще одно качество - пространственность (как протяженность). И потому: не может быть такого начального состояния, как наличие пустого пространства (пустоты) и тела (безразлично субъекта или объекта). Субъект ощущает и осознает свою отдельность, если его органы чувств зафиксируют что-то, что не является им (не принадлежит ему), т.е. отделено от него некоторым расстоянием - пространством. (Существование пространства - есть отрицание тела, есть признак его формальной конечности, есть переход от тела к его противоположности, к телесности другого качества.)

Пространственные отношения даже по своему характеру предполагают как наличие движения (поскольку для определения расстояния необходимы эталоны и движение), так и пропорциональность отношений изменяемых форм. Движение обусловливается следующими факторами - свойствами пространства:

пространство это то, что обеспечивает возможность перемещения тел (механического движения любого вида, включая пульсацию);

отношение всегда есть взаимодействие как минимум двух объектов и, следовательно, пространственные отношения, по сути, есть отношения тел посредством своих параметров. Поэтому, исследуя пространство, мы неизбежно и тоже в неявной форме вводим в него тела, и потому пространство становится промежутком между телами. И только игнорирование движения в мысленном представлении пространства обусловливает свойству «пространство» качества субстанции равнозначной материи.

Само наличие пространства фиксируется только путем движения тел и, следовательно, где нет движения, там нет и пространства, как нет и самой материи. Так в полной темноте, прежде чем сделать шаг, человек протягивает вперед руку (вводит тело в пространство), убеждается в присутствии оного, а затем вводит в него и свое тело. Далее операция повторяется, пока рука не упирается в стенку (отсутствие пространства). Таким образом, возникает понятие размеров пространства (количество шагов). Находясь в неподвижности и в полной темноте, нельзя ничего сказать о пространстве ни как о пустоте, ни как об отношении.

Возникает вопрос: что же такое пространство? Вот возможные варианты ответов:

Ответ А: Это ничем не заполненная пустота (пустой ящик без стенок). То есть тождеством:

пространство = пустота = отсутствие всего,

постулируется превращение пространства в непознаваемое. В вещь в себе. Появление в таком мысленном пространстве субъекта невозможно по определению, а без субъекта кто будет познавать? Да и познавать-то нечего (ничего нет).

Ответ Б: Пространство есть то, что окружает каждое тело как повторение его твердой формы (скажем как воздушная оболочка Земли) и не обладает твердостью, препятствующей сближению тел. Этот ответ переводит пространство в объект изучения физики.

Ответ В: Пространство есть телесная протяженность между макротелами, образованная протяженностью микротел (эфиром), который обусловливает макрообъектам возможность движения, сохраняя при этом видимость их отдельности. Этот ответ образует мостик между физикой и геометрией. Физики, изучая тела и их свойства, будут учитывать закономерности вещественного пространства (эфира), а математики, работая с кажущейся пустотой, помнят, что она имеет протяженность и телесность.

Резюме: Современная геометрия, изучающая формы тел, всегда имеет дело со статикой (неподвижными поверхностями тел). Можно представить, как геометры «ползают» по поверхности, оставляя следы: как точки (когда они стоят); как линии (когда они измеряют поверхность); как плоскости (когда они рисуют «карты» этих поверхностей). Для понимания предмета геометрии это очень существенно, поскольку все операции на плоскости требуют неявного нахождения на ней и геометра, хотя бы в виде точки, обладающей способностью двигаться.

Когда начинается процесс изменения формы (поверхности), геометры убегают (улетают) «во избежание» и возвращаются на плоскость лишь тогда, когда процесс деформации закончен, т.е. в статику. Это суть статической геометрии. Чтобы знать, как изменяется форма, т.е. видеть процесс, геометр должен, хотя бы в воображении стать участником процесса, точнее, его исполнителем, и учитывать вещественность процесса, что невозможно в статической геометрии. В этом случае геометр (исполнитель) всегда центр, а инструмент (мысль) исполняет роль измерителя, фиксирующего процесс, и геометрия выходит за рамки статики. Но продолжим определения [1]:

2) «Первоначальные понятия геометрии возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первое выражается в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело есть часть другого, в расположении «между», «внутри» и т.п. Второе встречается в понятиях «больше», «меньше», в понятии о «равенстве тел».

3) «Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств».

В формулировках 2 и 3 имеются определенные недоговоренности, если не сказать большего:

а) Отвлечение от всяких свойств и отношений полностью отрывает геометрические тела от реальных объектов, не оставляя им никаких природных качеств и тем самым превращая их в пустую абстракцию, ничем не связанную с реальностью;

б) Обсуждаются и определяются только тела, в том числе вводится и понятие «геометрическое тело». Все это - рассмотрение формы. А между тем и в этом, и в других определениях исчезает представление о пространстве, которое геометрия обязуется изучать по определению.

в) Строго подходя к определению, понятие «геометрическое тело» получено посредством разделения формы и содержания, тогда как ранее отмечалось, что форма есть лишь проявление содержания, т.е. материальности тела. Аналогом такой абстракции может служить мир мыльных пузырей, где то, что находится вне пузырей и внутри их, тождественно (однородно).

г) Введение в первоначальное понятие количества, даже в простейшей форме (больше, меньше), равнозначно присутствию «независимого» наблюдателя, который и являет собой эталон и ∕или эквивалентно нанесению на пространство жесткой координатной (размерной) сетки.

д) Вместе с тем термин «пространственные отношения» есть недоговоренность, т.к. под отношениями подразумевают отношение тел.

Таким образом, предметом геометрии являются формы, абстрагированные от объектов окружающего мира, в том числе и от пространства и, следовательно, в статической геометрии пространство отсутствует по определению.

Остановимся на некоторых гносеологических аспектах этого абстрагирования, которые в той или другой мере находят отображение в математике и в частности в геометрии. Начнем с простейших количественных и качественных операций, поскольку «качество» неотъемлемая категория любой науки и в том числе математики. Рассмотрим задачку, которую психиатры предлагают иногда детям младшего школьного возраста для определения их способности мыслить абстрактно:

«Сколько будет если к одной корове прибавить одну лошадь?»

Считается, что правильный ответ - два животных, и делается вывод, что ребенок может мыслить абстрактно (может обобщать понятия). Но так ли это?

Посмотрим, какая логика определяет этот ответ:

а) предполагается

1 корова = 1 животное,

1 лошадь = 1 животное,

отсюда 1 корова = 1 лошади и, складывая, получаем

1 лошадь + 1 корова = 2 животных.

Кому как, а для нас эта операция непостижима. Непостижима потому, что складываются не корова и лошадь, а формальные классы, не представляющие определенного качества, сложение которых является полной бессмыслицей и для математики, и для практики. (Дети это прекрасно чувствуют и потому стесняются получать тот ответ, который устраивает психологов.)

Рассуждать приходится по иному.

Понятие «корова» индивидуальность (тело), понятие «лошадь» тоже индивидуальность (тоже тело). И чтобы их сложить необходимо индивидуальности обезличить, превратить в бескачественные, но существующие телесные объекты, в мысленные конструкции.

Следовательно, абстрагирование как переход к другому качеству заключается не в том, что вводится понятие, отвлеченное от реальности, а в том, что результат абстрагирования отрицает существование прежнего качества объекта, ненадобность этого качества для данной формализации. Происходит подмена объекта в мышлении его «потребительским» качеством. Сам объект при этом остается неизменным, используется только другая его данность. Это очень важная формальная операция. Абстрагирование от объекта не производит замены объекта его схематическим отображением, а изменяет качественную составляющую данного объекта, концентрирует внимание на другом качестве, которое становится основным при проведении некоторой формальной (например, математической) операции, и поэтому математика становится не столько количественной, сколько качественной наукой. Однако эта качественность математического знания на сегодня не замечается.

б) пусть удалось выполнить операцию а), т.е. реальные объекты (живые существа) превратить в одинаковые мысленные конструкции, именуемые Y, тогда:

Вариант 1 Þ 1Y + 1Y = Y(1 + 1) = 2Y - это одна возможность,

Вариант 2 Þ Y + Y = YY - это другая возможность.

Вариант 2 можно записать иначе, если «слить» YY в единое ψ «вдвое» большее прежнего:

Y + Y = ψ.

В варианте 2 наличествуют только абстрактные объекты Y (символы объектов – отдельности), знак + это разместить рядом, сохранив тем самым различие не только в памяти, но и визуально. Операция рядом расположения не является математической операцией. Изображение ψ - уже математическая операция, обусловливающая в результате сложения возникновение нового качества.

Появление ψ приводит к исчезновению Y и Y, а в варианте 1 отпадает необходимость в качестве Y, которое, можно сократить, подразумевая при этом, что складываются не голые числа, а отображения одинаковых качеств этих чисел:

1Y + 1Y = Y(1 + 1) = 2Y

1 + 1 = 2.

Сокращение Y как бы вообще убирает в уравнении качественную составляющую (животное) и отображает его уже не как животное, а как тело, т.е. как целое. И каждая цифра в последнем уравнении является нерасчленимым, отдельным целым. И в данном примере наличествует не абстрагирование от объекта к количественной величине, а наоборот, сохранение каждого объекта (как целого с качествами определенной, но формальной отдельности). Неосознанно мы, как детишки дошкольники, говорим в уме: одно тело и одно тело равно двум телам, то есть двум целым.

Можно рассматривать знак + как способ слияния и тогда:

+ = = - а это один объект

Т. е. при слиянии 1 + 1 = 1 - как единое целое возник новый объект, а старые объекты как целое исчезли, хотя они и присутствуют в уравнении и в нашей памяти. Это фиксация в нашей памяти и в уравнении предшествующего момента (левой части), которая уже «отмерла», уже отсутствует и потому небытийная. Фактически, с появлением правой части, левая часть исчезает. Она свою роль выполнила, и для нее уже нет места в новом времени и пространстве. Этого требует сама природа, поскольку в реальном мире все места заняты и появление нового возможно только при исчезновении старого.

Данное положение диалектики слабо усваивается не только математиками, но и философами. Хотя в быту каждый из нас с такими процессами сталкивается повседневно. Например: в сосуд с водой можно влить молоко, только вылив воду. И когда эта операция проделана, то каждый вновь вошедший в помещение (не видевший процесса выливания воды и наливания молока) увидит сосуд с молоком, и только субъект, проделавший эту операцию, будет помнить, что перед тем в нем была вода. Именно аналогичная память и сохраняется в левой части рассмотренных уравнений. Своего рода «замороженная» память.

Итак, все замыкается на человеческом мышлении, на абстрагировании и одновременно на памяти о предшествующем. Память - попытка превратить дискретное в непрерывное, то есть вернуться в реальность, как в последовательную череду событий. Любое природное явление (событие) протекающее во времени для памяти - это своеобразный кинопроектор, движущийся с регулируемой скоростью ленты. Медленно - и мы видим прерывистость, быстро - и все плавно и непрерывно. Если же посмотреть кадры на пленке - так движение вообще отсутствует. И в этой картине мы упираемся в очень интересную двойственность, имеющую место и в математике: в движение и покой.

На бытовом уровне мы фиксируем движение как перемещение относительно некоторого неподвижного объекта и легко находим как то, так и другое. И если выдвигается положение о том, что движение является атрибутом материи, без наличия которого материя не может существовать, то существование такого атрибута должно обусловливать и наличие противоположного качества - неподвижности и как следствие существования этого качества - отсутствие материи, отображаемое словом «ничто». И это диалектично, так как только ничто может уравновесить все и в единстве обеспечивать существование того явления, которое и называется словом - целое.

Но не будем отвлекаться и вернемся к основам геометрии, вернемся к форме.

Так что же такое форма? Форма - отграниченность, создающая отдельность. Это качество, позволяющее нам увидеть (выделить из мира) любой объект (тело, предмет, вещь и т.д.). Например, мы смотрим в ясный летний день на небо, на котором нет ни одного облачка. И что же мы видим? Мы видим чистое небо. Как приходит такое понимание? Оно обуславливается границей. Вот поверхность Земли, а дальше воздух, который невидим, но его толща, освещаемая Солнцем, приобретает голубоватый оттенок, и эту голубизну воздуха мы называем небом. Что еще можно увидеть на небе? Ничего, пока не появятся облака, которые видны через отграниченность белого от голубого. Ответ становится неоднозначным:

а) Я вижу небо с облаками.

б) Я вижу облака на небе.

в) Я вижу небо между облаками.

Из этого примера можно сделать вывод, что изучение пространственных форм − это изучение качественных характеристик. Снова получается, что статическая геометрия это не только количественная, но и качественная наука, и по этому признаку родственна физике. Отличие же состоит в том, что статическая геометрия оперирует одним природным свойством-качеством - протяженностью (остальные свойства являются для нее формальными свойствами), физика же охватывает всю совокупность природных качеств, хотя использовать в практике может только их мизерную часть.

Что же такое количество? Количество это отношение, создаваемое нашим мышлением, это больше или меньше, это появление эталона, который служит мерилом отношения. Без этого отношения не может быть и счета.

Можно проследить следующую последовательность появления цифр (счета). В сущности рис. 12. есть грубая аналогия мистического представления о возникновении Мира. (рис. 12):

Совершенно самостоятельно существует 1 и 1. А единственно по отношению к Б и наоборот (рис. 12.). Но это отношение не создает количества, т.к. А и Б есть демонстрация того факта, что единственность, как понимание, возникает из двойственности.

Если А субъект, то А может сказать, что видит Б как отдельность (объект, тело), имеющую форму (границы). Отдельность Б является полной, если А и Б не имеют ни одной «точки» соприкосновения. То, что находится между А и Б, не имеет формы и не может быть

1. Исходное = ничто = все.

2. Следующее = целое в потенции с внутренней границей

3. Разделение двух на отдельности и осознание единственности как первого отношения.

Рис. 12.

зафиксировано как отдельность. Это побочный результат разделения. Назовем эту «бесформенность» пространством и будем всегда помнить, что это не пустота, не изначальное ничто, в котором «плавало» целое, а результат разделения. Поэтому с точки зрения статической геометрии объем, образуемый телом, не является пространством, поскольку объем - конечная величина, легко определяемая через поверхность (внешнюю границу) тела, если исходить из внешнего измерителя. Пространство, образующееся при дроблении тела, не может быть измерено, так как каждый цикл (дробление пополам) будет автоматически создавать и свой эталон размера.

Итак, разделение потенциальных 2-х на отдельности позволяет А понять (осознать), что появление новых (других) объектов возможно путем деления Б на отдельности. И А совершает эту операцию (практически так же, как в случаях рис. 7 ¸9) для чего:

а) приближается к Б (перемещается в пространстве),

б) нарушает границу (разрушает) Б, сохраняя свою целостность, но изменяя форму (становясь клином) и раздвигает Б, превращая его в Б₁ и Б₂. Разделение на Б₁ и Б₂ создает между ними пространство, которое является другим по отношению к прежнему, так как оно создается уже тремя телами А, Б₁, Б₂. И это новое пространство позволяет А остаться между Б₁ и Б₂. Интуитивно мы осознаем, − это А уже не прежнее А, но оно может этого даже не «предполагать». Об этом знаем мы, так как автоматически отодвинули себя на безопасное расстояние, чем превратили А в тело аналогичное Б, т.е. из субъекта сделали объект А (колун). Отодвинув себя и сохранив А как телесность, мы зафиксировали чрезвычайно интересное явление, а именно:

Сознание имеет тенденцию не участвовать в материальных процессах, а лишь наблюдать за ними. Тем самым создавая эталон, как память о предшествующем состоянии. Использование памяти-эталона и есть рождение количества. Только память на рис. 3 или 4 знает, что конечный объект равен 1 по количеству отдельности есть половина и четверть предшествующего по размеру (объему). Но память – это прошлое. Здесь другая интуитивная догадка, что процесс разделения контролирует мысль, которая материальна по отношению к сознанию и практически бестелесна по отношению к нашему физическому миру [2]. Контрольная функция мысли в физическом процессе создает его количественные характеристики и, прежде всего, другое название отдельности. Появление А ¢, Б₁, Б₂ все оставляет по-прежнему, то есть 1 = отдельность А ¢ «смотрит» на себя, на Б₁ и Б₂ и констатирует, что существуют А ¢ = 1; Б₁ = 1; Б₂ = 1 и по качеству отдельности (тело, вещь, объект) они все равны, то есть 1 = 1 = 1 и А ¢ = Б₁ = Б₂. В статике, визуально (через пространство) А ¢ фиксирует, что все тела

разные по форме: А ¢ ¹ Б₁, А ¢ ¹ Б₂, Б₁ ¹ Б₂,

разные по объему: - «- - «- - «- -,

разные по цвету: - «- - «- - «- и т.д.

Как результат: Все тела в дискретном мире равны (одинаковы) только по одному качеству - отдельности и это единственное качество, которое позволяет оперировать безразмерностными цифрами числового ряда как абстракциями. Поэтому постулирования типа «между любыми двумя цифрами натурального числового ряда можно поместить бесконечное количество дробных, иррациональных и т.д. чисел» является неправомерным, поскольку пространство между числами одного качества заполняется числами другого качества (качество - «целое число», качество - «дробное число») и вызвано неосознанным стремлением человеческого мышления к превращению дискретного в континуум.

Считается, что математика является только абстрактной, количественной наукой, и все ее свойства, числа, индексы, геометрические фигуры являются формальными отображениями либо некоторых количественных величин, либо схематического изображения реальных тел. А потому никакие качественные характеристики не могут быть присущи формальным количественным величинам.

Однако сами же числа не согласуются с такими предпосылками. Математические величины - числа, не являются единообразными. Они делятся на отдельности: числа целые, дробные, иррациональные, мнимые, комплексные, гиперкомплексные и т.д. И, как будет показано далее, это деление не случайно. Оно следствие диалектичности самих математических величин, их своеобразной «формально-качественной» отдельности, и требует создания качественно различных правил для проведения математических операций с полным набором этих чисел. И потому, само существование целых чисел натурального ряда как отдельностей не допускает возможности нахождения между ними дробных или других чисел, не относящихся к натуральному ряду, как принадлежащих к другому качеству, к другой численной отдельности.

Еще раз подчеркнем, что в арифметике каждое число из ряда натуральных чисел является целым по качеству отдельного, и промежутки между этими числами (целыми) не могут быть заполнены никакими дробными величинами, поскольку дробные величины есть отдельное другого численного качества. В природе же дробное - всегда отображение не целого (отдельного), а численной величины качества. Разница же в том, что целое (отдельное) не имеет размерности и по этому свойству сопоставимо только с другим целым (с другим отдельным), а природное качество всегда величина размерная, всегда изменяемая и сопоставима с аналогичным и только с аналогичным изменяемым качеством.

Вклинивание иного качественного в ряды отдельного означает подмену понятий. Постулирование существования в одной форме разных качеств обусловливает нарушение качественной структуры арифметики. Оно вносит элемент противоречия во «взаимоотношениях» между различными качествами числовых составляющих и обусловливает логическую неопределенность основаниям арифметики.

К тому же промежуток между арифметическими числами (или символ промежутка, например, пробел, «,», «;» и т.д.) отображает геометрическую составляющую арифметики - пространство (рис. 13). То самое истинно пустое математическое пространство, которое отделяет одно число от другого. (Пробел - формальная математическая «пустота». Он фиксирует отсутствие символов между цифрами или числами. Единственно допустимая в естественных науках пустота.)

Пространство Простр.»_-_» и т.д.

Рис. 13

Наличие в арифметике геометрической составляющей до сих пор математически не осознано. И, потому, в арифметику, минуя понимание математиков, незаметно и как бы противозаконно «влезает» геометрия, обусловливая существование отдельных чисел. Геометрия, которую уже невозможно выделить из арифметики.

Рисунок 13 можно представить и в другой форме (рис. 14):

И т.д.

Рис. 14

Изменение расположения тел, изменило пространство - промежуток, образуемый отдельностями - телами. Попытки перевести дискретный мир в сплошной противозаконны, пока сохраняются качества отдельности. (А такая попытка, например, наличествует даже в определении пространства Риманом [4]: «Пространство - непрерывная совокупность однородных объектов или явлений».) Отсюда выражения: «рассмотрим множество целых чисел» или «рассмотрим пустое множество» логически противоречивы, так как мысленный эксперимент, абстрагированный якобы от реального опыта, не опирается на этот самый опыт. Например, берем «мешок» (пустое множество). Засыпаем в него просо, песок и т.д. (числа, неопределенные отдельности разного качества) и, приравнивая, получаем винегрет качественности и бескачественности:

Объем = пространство = пустота.

Повторимся:

объем - отдельность, внешняя характеристика границ тела и он образуется телом. Тело всюду «тащит» за собой свой объем и никому его не отдаст. Без объема нет тела и нет объема без тела (трехмерное понятие);

пространство - размерностное качество (промежуток между отдельностями, одномерное понятие), возникающее при взаимодействии тел. Следовательно, «мешок» возникает только при наличии тел. Нет тел, - нет и «мешка».

пустота - отсутствие отдельности и качеств. Как отсутствие всего она равнозначна такому целому, с которым человеческое мышление, будучи дискретным, не имеет ничего общего, и постигнуть ее, а, следовательно, и использовать где бы то ни было невозможно.

Как можно говорить об абстрагировании до признания качества пустоты, если не осознается такой простой факт, что в пустоте нет и не может быть ничего по определению. В пустоту невозможно «всунуть» никакое тело, а также поля, числа или пространства. Есть тело, нет пустоты. Откуда возьмусь там Я да еще с мешком, из которого всегда достану все, что только смогу вообразить?

Наличие логической путаницы в основаниях математики, в ее понятиях и качествах, игнорирование диалектичности Мира являются постоянными предпосылками возникновения неопределенности в ее структурах. Эти предпосылки расшатывают ее фундамент, предопределяя ненадежность тех логических построений, на которых зиждется все ажурное здание современной математики. Они обусловливают перманентный кризис в различных разделах математического мышления, который уже перерос в процесс, создающий угрозу всему развитию математики, в кризис, существование которого не отрицают и сами математики.