Особые случаи пересечения. Теорема Монжа

1. Поверхности в точках касания имеют общие касательные плоскости.

Т еорема (о двойном соприкосновении).

Если две поверхности второго порядка имеют две точки соприкосновения и общие касательные плоскости в этих точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.

Сфера и эллиптический цилиндр пересекаются по двум окружностям. Они имеют две общие точки А и В и две общие касательные плоскости в этих точках. Пространственная линия пересечения распалась на две плоские кривые — окружности(рис. 159).

2. Две пересекающиеся поверхности касаются третьей поверхности второго порядка.

Т еорема (теорема Г.Монжа).

Если две пересекающиеся поверхности второго порядка могут быть описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым второго порядка.

Теорема Монжа — частный случай теоремы о двойном соприкосновении. Например, поверхности конуса и цилиндра с общей фронтальной плоскостью симметрии касаются сферы по окружностям 1”-2”и 3”-4”. Линия пересечения поверхностей представляет собой два эллипса, плоскости которых перпендикулярны фронтальной плоскости проекций(рис. 160).

На рис. 161 даны два конуса, описанные вокруг одного и того же шара. Оси которых пересекаются под прямым углом. Построить линию пересечения заданных поверхностей.

Наивысшие 1, 3 и наинизшие 2, 4 точки линии перехода находят в пересечении крайних образующих на фронтальной проекции заданных поверхностей. Если сфера касается обеих поверхностей, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые (в нашем примере — на два различных эллипса). На фронтальной проекции эти эллипсы изображаются отрезками прямых, а на горизонтальной — эллипсами.

Точки 5 и 6 пересечения эллипсов находят на окружности радиуса c ”/2. Построение промежуточных точек ясно из чертежа.

Для определения видимости линий пересечения на горизонтальной проекции проводят секущую плоскость Р (через ось конуса с вершиной S). Точки 7, 8 и 9, 10 служат границами раздела между видимой и невидимой частями линий пересечения. На фронтальной проекции невидимая часть линии пересечения сливается с видимой.

Прямые 1-4 и 2-3 — большие оси эллипсов. Прямые 5-6 и 11-12 -- малые оси эллипсов.

На рис. 162 даны два цилиндра с одинаковыми диаметрами. Оси цилиндров пересекаются под прямым углом.

Здесь в пересечении цилиндров получаются два одинаковых эллипса 1-2 и 3-4, которые проецируются на плоскость V в виде прямых, а на плоскость Н — в виде окружностей, сливающихся с проекцией основания одного из цилиндров.