Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Линии 2-го порядка1. Эллипс. Эллипсом наз-ся геометрическое место точек пл-ти, сумма расстояний от которых до двух данных точек пл-ти F1 и F2(фокусов) есть величина постоянная. Составим ур-е эллипса, считая известными величинами: расстояний 2а от точки эллипса до фокуса; расстояние между фокусами. Отнесем пл-ть, в кот. расположен эллипс, к декартовой системе координат ху. Начало координат расположим в середине отрезка [F1,F2]; ось Х проведем через F1,F2. Пусть М(х,у) - точка эллипса. r1-расстояние от т.М до F1, r2-соответственно до F2. Тогда по определению эллипса r1+ r2=2а. Учитывая, что r1= ,а r2= , можем з записать: . Это неявное ур-е эллипса. r1 r2 ; ; F(-a;0) F(a;0) ; ; ; a4-2a2xc+x2c2=a2x2-2a2xc+a2c2+a2y2; (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2); (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2). По св-ву сторон треугольника r1+r2>2c, т.е. 2а>2с или а>c. Следовательно а2-с2>0. Положим в2=а2-с2 и разделим обе части последнего ур-я на а2b2. Придем к каноническому ур-ю эллипса: , b2=a2-c2 (1.1) Легко проверить, что т. М1(-x,-y),M2(-x,y),M3(x,-y) удовлетворяют ур-ю эллипса. Это означает, что у эллипса есть центр симметрии т. О(0;0) и оси симметрии ОХ,ОУ. Точки пересечения эллипса с осями симметрии наз-ся вершинами эллипса. Пусть А1,А2 вершины, лежащие на оси Х, а В1 и В2 –вершины, лежащие на оси У. Найдем координаты этих точек. Положим в ур-ии у=0: х2=а2; х1=а, х2=-а. Поэтому А1=(-а;0), А2=(а;0), аналогично В1=(0;-b), B2=(0;b). Отрезки, заключенные между вершинами эллипса, наз-ся его осями: А1А2-большая(фокальная), В1В2-малая ось. Отношение e=с/a называют эксцентриситетом. Т.к с<=а, то е<=1. Если е=0, то с=0. B2 d Если е=0, то с=0. В этом случае F1 и F2 эллипса находятся в начале координат A1 F1 F2 A2 и эллипс превращается в окружность R=a. Директрисами эллипса наз-ют 2 прямые параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии B1 a/e. Построим ур-е касательной к эллипсу в т. М(х1,у1), не совпадающей ни с вершиной А1, ни с вершиной А2. Пусть у=у(х)-явное ур-е эллипса в окрестности т.М. Известно, что явл. угловым коэффициентом касательной к кривой у=у(х) при х=х1. Определим : воспользуемся .Продифференцировав по х обе части тождества, придем к новому тождеству: . Для М(х1,у1): . Из последнего рав-ва найдем : Проведем через т. М(х1,у1) эллипса в пл. ОХУ прямую с угловым коэффициентои : у-у1= (х-х1); у-у1= (*y1a2); y1ya2-y12a2+xx1b2-x12b2=0; xx1b2+yy1a2=x12b2+y12a2 (:a2b2); ; - ур-е касательной эллипса в точке касания М(х1,у1).
2. Гипербола. Гиперболой наз-ют геометрическое место точек пл-ти, разность расстояний от которых до 2 данных точек пл-ти F1 и F2(фокусов) есть величина постоянная. Известны разность расстояний от фокусов до точек гиперболы 2а и расстояние между фокусами 2с. Отнесем пл-ть, в которой расположена гипербола, к декартовой системе координат ОХУ. В начало координат О расположим середину отрезка F1F2. Ось Х проведем через фокусы F1(-c;0) и F2(c;0). Т. М-произвольная точка пл-ти. . Учитывая, что , ; то . M(x,y) Избавляясь от радикалов, придем к каноническому виду r1 r2 гиперболы: , b2=c2-a2 (2.1) F1 F2 При замене х на (-х) или у на (-у) ур-е гиперболы не меняется, значит О- центр симметрии, а оси координат- оси симметрии. Точки пересечения А1 и А2 гиперболы с осью Х называют вершинами гиперболы. Отрезок А1А2- действительная ось, В1В2-мнимая ось. F1F2≥A1A2 >1; =e; сопряженная d 2c 2a директрисы: ; B2 c≥a; F1 A1 A2 F2 Запишем явное ур-е верхней части правой ветки гиперболы, считая что х≥а и у≥0 для рассматриваемой части. Из канонического B1 директрисы ур-я гиперболы получаем искомое явное уравнение: . Рассматриваемая часть гиперболы расположена ниже прямой . При х→∞: →1 ветвь гиперболы будет при х→∞ приближаться к прямой так, что расстояние между точками прямой и гиперболы с одинаковыми абсцис. будет →0 при х→∞. Прямая наз-ся асимптотой гиперболы. А в силу симметрии гиперболы относительно осей х и у ее асимптотой будет прямая . Гипербола наз-ся сопряженной к гиперболе (2.1). Касательная к гиперболе (2.1) в т. М(х1,у1) имеет ур-е: (2.2) 3. Парабола. Параболой наз-ют геометрическое место точек пл-ти, равноудаленных от данной точки F(фокуса) и данной прямой(директриса). Проведем на пл-ти, в которой расположена парабола, ось Х через F директрисе. Через ось У декартовой системы проведем ║ директрисе между F и директрисой на расстоянии р/2 от F, где р - расстояние между фокусом и директрисой. r =x+ . по определению r=d. d M(x,y) r x2-px+ +y2=x2+px+ ; е= =1; y2=2px – канонич. ур-е параболы 0 F(p/2;0) Парабола симметрична относительно ОХ. x=-p/2 Ур-е касател-й к параболе, проходящей через т. М1, имеет вид: уу1=р(х+х1). Общее ур-е кривой 2-го порядка: а11х2+2а12ху+а22у2+2а13х+2а23у+а33=0. Дискриминант кривой (Δ): , ; дискриминантом старших членов кривой 2-го порядка(δ):
|