Функциональные и степенные ряды

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда:

Решение

а) Данный степенной ряд можно записать так:

Применяем признак Даламбера и ищем предел:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Таким образом, интервал сходимости данного ряда (-2; 2). Граничные точки интервала сходимости х = 2, для которых Д = 1 и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, и исследуется особо.

При х = -2, получим числовой знакочередующийся ряд для которого выполняются все условия признака Лейбница: и Следовательно ряд сходится. При х = 2, получим гармоничный ряд который расходится.

Следовательно, областью сходимости данного ряда является полуоткрытый интервал:

-2 ≤ х < 2

б) Здесь Применим признак Коши, находя предел:

при любом х ≠ 0.

Следовательно, заданный степенной ряд расходится при всех значениях х ≠ 0 и сходится только при х = 0.

Пример 3. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Решение

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции sin x, имеем:

Получен знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в этом ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничимся только первыми тремя членами. Итак,

Пример 4. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального уравнения у΄ = х + х²-у²+ cos x, если у(0)=1.

Решение

Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если функцию у(х) можно разложить в ряд Маклорена, то

(1)

Свободный член разложения (1), т.е у(0), дан по условию. Чтобы найти значения у΄(0), у΄΄(0),

у΄΄΄(0), …, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.

Значение у΄(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

или