Напряжения на октаэдрических площадках

Рассмотрим площадки, равнонаклонённые к главным осям (рис. 3.27, а). Такие площадки называются октаэдрическими. Они образуют геометрическую фигуру, называемую главным октаэдром (восьмигранником) (рис. 3.27, б).

Для первого октаната, образуемого положительными направлениями главных осей, направляющие косинусы Поэтому из формул Коши (29) следует:

(66)

Нормальное напряжение, согласно (31), равно:

(67)

т.е. равно среднему напряжению.

а) б)

Рис. 3.27

Касательное напряжение находим по формуле

Заменяя их выражениями (66), (67) получим:

(68)

Направление действия определяется углом виды напряжённого состояния на октаэдрической площадке (рис. 3.28), который совпадает с фазой напряжённого состояния. На рис. 3.28 занумерованные направления со штрихами представляют собой проекции главных направлений на октаэдрическую плоскость.

Угол связан с параметром Лоде простым соотношением:

Для растяжения сжатия для чистого сдвига .

Таким образом, на всех гранях главного октаэдра действуют одинаковые нормальные напряжения (67) и одинаковые касательные напряжения (68).

Рис. 3.28

Первые подвергают октаэдр всестороннему растяжению или сжатию, что можно сравнить с давлением воды на погружённый в неё октаэдр. Вторые приводят к изменению формы октаэдра и к его пластическому деформированию. Октаэдрическое касательное напряжение не изменяется, если наложить на частицу всестороннее растяжение – сжатие. С точностью до множителя модуль девиатора напряжений:

и этим самым, с точностью до постоянного множителя, определяет его физический смысл.

Введём два важных понятия о простом (пропорциональном) и сложном нагружении. Нагружение назовём простым (пропорциональным), если все компоненты тензора напряжений изменяются пропорционально одному параметру t, т.е. В этом случае параметр Лоде и угол вида (фаза) напряжённого состояния остаются неизменными. В противном случае нагружение называют сложным. Эти понятия были введены великим русским учёным-механиком, профессором Московского государственного университета А.А. Ильюшиным (1911 – 1999).