Тема 7. Исследование графиков функций одной переменной

1. Функция ƒ(х) задана графически. Исследуйте функцию. Укажите:

а) Область определения;

б) множество значений;

в) промежутки монотонности (промежутки убывания и возрастания);

г) нули функции;

д) промежутки знакопостоянства;

е) является ли эта функция четной, нечетной или общего вида;

ж) точки экстремума, экстремумы функции;

з) наибольшее и наименьшее значения функции;

и) значения х, при которых значение функции равно 1;

к) чему равны ƒ(3), ƒ(-1), ƒ(5) (по графику);

л) при каких значениях а уравнение ƒ(х)=а

- не имеет корней;

- имеет 1 корень;

- имеет 2 корня?

2. Постройте график функции, найдите множество значений, промежутки возрастания, убывания, точки экстремума.

а) ; б) ; в) .

3. Найдите область определения функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

Тема 11. Элементы теории вероятности и

математической статистики

1. В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?

2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова веро­ятность вынуть из урны синий шар?

3. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

4. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара - белые?

5. В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 руб., на четыре билета — выигрыш по 50 руб., на десять би­летов — выигрыш по 20 руб., на двадцать билетов — выигрыш по 10 руб., на 165 билетов — выигрыш по 5 руб., на 400 билетов — выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 10 руб.?

6. В урне 20 шаров с номерами от 1 до 20. Какова веро­ятность вынуть шар с номером 37?

7. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет герб?

8. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором—с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров: 1) не меньше 7; 2) равна 11; 3) не больше 11?

9. В лотерее 1000 билетов. Из них 500—выигрышные и 500—невыигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?

10. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 уче­ников получили оценку «отлично», 10 учеников — «хорошо», 9 уче­ников — «удовлетворительно». Какова вероятность того, что все три ученика, выз­ванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе?

ПРИМЕРНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант 1

1. При каких значениях l существует ?

2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,-2,-7) параллельно плоскости 2x-3z+5=0.

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М(3,-2) и N(7,-2).

5. Какая кривая определяется уравнением 2x²-4x+3y-7=0?

6. Дать определение предела последовательности.

7. Представить в тригонометрической форме.

Вариант 2

1. Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера, выполнить проверку решения; б) методом Гаусса.

2. Даны вершины треугольника , Найти: а) уравнения всех трех его сторон; б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны; в) внутренний угол треугольника в градусах и минутах; г) длину высоты, проведенной из вершины ; д) площадь треугольника.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,-2,-7) параллельно плоскости 2x-3z+5=0.

4. Вычислить определитель четвертого порядка

А =

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М(3,-2) и N(7,-2).

6. Какая кривая определяется уравнением 1/2x²-1x+y-7=0?

7. Дать определение предела последовательности.

ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ

1. Значение математики для гуманитарных и естественнонаучных дисциплин.

2. Вычислительные методы линейной алгебры.

3. Математические методы в различных областях информационных систем и технологий.

4. Методы дискретной математики, основные направления развития и применение в ЭВМ

5. Методы анализа данных гуманитарного исследования.

6. Теория множеств. История развития направления.

7. Свойства основных операций над матрицами (с доказательствами)

8. Матричное исчисление.

9. Матрицы и определители.

10. Теорема Кронекера-Капелли.

11. Теория функций комплексного переменного.

12. Приложения алгебры логики в технике.

13. Приложение линейной алгебры в теории графов. 0.

14. История развития и роль переменных величин в математике.

15. Дифференциальное исчисление в исследовании графиков функций.

14. Экстремумы выпуклых функций.

15. Выпуклость квадратичной функции.

16. Приближенные методы отыскания глобальных экстремумов.

17. Нахождение локальных экстремумов функций.

18. Определение глобальных экстремумов функций.

19. Локальные экстремумы функций многих переменных.

20. Функции Лагранжа отыскания глобальных экстремумов.

21. Физические и геометрические приложения определенного интеграла.

22. Интегралы в приближенных вычислениях.

23. Несобственные интегралы и их вычисление.

24. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

25. Несобственные интегралы от неограниченных функций.