Полного тензора напряжений массива пород

В наиболее общем виде, как было показано ранее, напряженное состояние в какой-либо точке массива может быть описано тензором напряжений Т_s в виде матрицы его компонентов:

где s_х, s_y и s_z - нормальные, а t_ху, t_хz, t_yx, t_yz, t_zx, t_zy - касательные напряжения.

Матрица тензора напряжений может быть выражена главными нормальными напряжениями s₁;s₂; s₃:

Для решения задач геомеханики, учитывая проявление в одних случаях только гравитационных, а в других - как гравитационных, так и тектонических сил, удобно присваивать индексы 1, 2 и 3 в матрице тензора таким образом, чтобы главное напряжение в вертикальном направлении обозначалось s₃, наибольшее по модулю главное горизонтальное напряжение (в случае действия тектонических сил) - s₁, другое главное горизонтальное напряжение - s₂. Направления действия главных нормальных напряжений называют главными осями напряжений.

Таким образом, главное напряжение в вертикальной плоскости s₃ всегда определяется весом пород вышележащей толщи и в случае различных плотностей (объемных весов) покрывающих пород имеет вид:

H

s₃ = S g_i h_i (4.1)

0

где g_i - объемный вес i-го слоя пород; h_i - мощность i-го слоя; Н - глубина рассматриваемой точки от дневной поверхности.

Если напряженное состояние массива пород определяется только действием гравитационных сил, то каждый элементарный объем (рис. 4.3) под действием

Рис. 4.3. Схема к расчету гравитационных напряжений в массиве пород.

вертикального гравитационного напряжения s₃ будет испытывать деформации сжатия в вертикальном (по оси Оz) и деформации растяжения в горизонтальных направлениях (по осям Ох и Оу). Однако последним препятствует реакция окружающих пород, в результате чего возникают горизонтальные сжимающие напряжения s₁ и s₂, численно равные

n

s₁ = s₂ = x g H = --------- g H. (4.2)

1 - n

Здесь коэффициент x называется коэффициентом бокового давления или коэффициентом бокового отпора. Этот коэффициент показывает, какую часть вертикальной нагрузки, действующей в рассматриваемой точке массива, составляют силы или напряжения, действующие в горизонтальной плоскости.

Для горных пород коэффициент поперечных деформаций n изменяется в пределах от 0.08 до 0.5, соответственно крайние возможные пределы изменения x составляют от 0,1 до 1. Следует подчеркнуть, что в соответствии с физическим смыслом коэффициента v, его значения не могут превышать 0.5, поэтому и значения коэффициента бокового давления x не могут быть больше 1. В противном случае среда теряет свою сплошность.

Это положение имеет принципиальное значение и должно использоваться при анализе и интерпретации результатов натурных измерений.

При слоистом строении массива значения горизонтальных напряжений s₁ и s₂ определяются конкретными значениями коэффициентов поперечных деформаций n_i для соответствующего слоя. В связи с этим, если вертикальное напряжение s₃ будет монотонно возрастать по мере увеличения глубины рассматриваемых слоев, то горизонтальные напряжения s₁ и s₂ при общей тенденции возрастания могут, как увеличиваться, так и уменьшаться при переходе от слоя к слою.

Главное напряжение s₃, обусловленное действием гравитационных сил, может в отдельных случаях отклоняться от вертикали вследствие наклонного залегания отдельных слоев пород, их складчатости и различной мощности, а также при сложном рельефе поверхности или наличии пустот в недрах. Отклонения эти обычно не превышают нескольких градусов, в редких случаях достигая 10 - 15°.

Изменение горизонтальной составляющей гравитационного поля напряжений по глубине характеризуется градиентом гравитационных напряжений Ds_г, который также является функцией средней плотности пород, слагающих массив, и составляет 0,25 - 0,32 кгс / (см^2.м).

Предельные значения n = 0,5 и x = l выражают, как это следует из формулы (4.2), условие гидростатического распределения напряжений в массиве, т. е. такого распределения, когда

s₁ = s₂ = s₃ (4.3)

Гидростатическое напряженное состояние является частным случаем напряженного состояния массива и характерно для таких пород, как глины, слабые глинистые и песчаные сланцы, каменные соли, слабые угли, способных к вязкопластическому течению при сравнительно невысоких нагрузках. По мнению многих исследователей, весьма прочные породы по мере роста глубины и связанного с ним роста давлений и температур также постепенно переходят в пластическое состояние, так что на достаточно больших глубинах распределение напряжений приближается к гидростатическому независимо от состава пород, слагающих массив. Однако в случае весьма прочных скальных пород эти глубины исчисляются, по-видимому, десятками километров, т. е. значительно больше глубин, реально достижимых при горных разработках.