Алгебраїчне доповнення елемента

Нехай дана квадратна матриця n-го порядку

A =

Означення. Мінором (n-1)-го порядку М квадратної матриці А n-го порядку називається детермінант матриці (n-1)-го порядку, який утворений з матриці А викресленням i-го рядка та j-го стовпчика.

Матриця А n-го порядку має n² мінорів (n-1)-го порядку.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента а_ij квадратної матриці А n-го порядку називається мінор М_ij матриці А, помножений на (-1)^i+j, тобто А_ij=(-1)^i+jМ_ij

Приклад 1.

Обчислити всі мінори і алгебраїчні доповнення 2-го порядку визначника

M₁₁ = = -3 M₂₁ = = -1 M₃₁ = = 7

M₁₂ = = -3 M₂₂ = =-1 M₃₂ = = 5

M₁₃ = = -1 M₂₃ = = -1 M₃₃ = = 1

A₁₁ = -3, A₁₂ = 3, A₁₃ = -1,

A₂₁ = 1, A₂₂ = -1, A₂₃ = 1,

A₃₁ = 7, A₃₂ = -5, A₃₃ = 1.

Лема. Детермінант D, в якого всі елементи i-го рядка (або j-го стовпця), крім елемента а_ij, дорівнюють нулю, дорівнює добутку елемента а_ij на його алгебраїчне доповнення, тобто D=а_ijА_ij.

Теорема. Визначник D=ïа_ijï n-го порядку дорівнює сумі всіх попарних добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення, тобто

D=а_i1А_i1+…+а_inА_in,

D=а_1jА_1j+…+а_jnА_j1

Перша з них – це розклад детермінанта за елементами i-го рядка, друга – розклад детермінанта за елементами j-го стовпця.

Наслідок. Детермінант квадратної матриці n-го порядку дорівнює нулю, якщо всі мінори (n-1)–го порядку дорівнюють нулю.

Теорема. Сума всіх попарних добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) цього визначника дорівнює нулю.

Наслідок. a_1jА_1m+…+а_njА_nm=0 (j¹m)

a_i1A_k1+…+a_inA_kn=0 (i¹k).

Приклад 2.

Обчислити детермінант

1 спосіб. Розкладемо детермінант за елементами першого стовпчика

D= = 3(-1)² + 1(-1)³ +

+ 5(-1)⁴ + 4(-1)⁵ =

=3(-28+120-24-140-36-16)-(56+240-42-245-72+32)+5(24+120+14-
-105+24+16)-4(96+144-98-126+96-112)=-372+31+465=124.

2 спосіб. За допомогою елемента a₂₁ = 1 обнулимо всі інші елементи першого стовпчика і для обчислення використаємо лему

D= = 1(-1)³ =

= -(1120+468+1040-520--672-1560)=124.