Природа физических законов

Попробуем, не прибегая к специальной терминологии, кратко резюмировать наши основные шаги на пути к решению парадокса времени. Основное новое понятие, описанное в этой книге, — формулировка несводимых вероятностных законов природы. Как было показано в гл. 5-8, традиционно существовали две формулировки физических законов: одна в терминах траекторий или волновых функций, другая в терминах статистических ансамблей. Но такая статистическая формулировка не была несводимой. Она была вполне применима к отдельным траекториям или волновым функциям. Иначе говоря, при статистическом подходе не появлялись новые динамические свойства. В результате необратимое приближение к равновесию традиционно было принято связывать с приближенностью, “крупнозернистостью” описания, а стрелу времени приписывать неполноте нашего знания. Предложенная нами несводимая формулировка порывает с этой ситуацией. Необратимость и вероятность становятся объективными свойствами. Они выражают то обстоятельство, что наблюдаемый нами физический мир не может быть сведен к отдельным траекториям или отдельным волновым функциям. Переход от ньютоновского описания в терминах траекторий или шредингеровского описания в терминах волновых функций к описанию в терминах ансамблей не влечет за собой потери информации.

¹Tarnas R. The Passion of the Western Mind. — N.Y.: Harmony Books, 1991, p. 443.

Наоборот, такой подход позволяет включить новые существенные свойства в фундаментальное описание неустойчивых хаотических систем. Свойства диссипативных систем перестают бьггь только феноменологическими, а становятся свойствами, не сводимыми к тем или иным особенностям отдельных траекторий или волновых функций.

Но существуют классические системы, устойчивые и обратимые во времени. Как мы теперь понимаем, они соответствуют предельным ситуациям, исключительным случаям. В квантовой механике ситуация еще более сложная, так как нарушение симметрии во времени явно признается необходимым для наблюдения квантового мира, т.е. для перехода от амплитуд вероятности к вероятности. В нашей формулировке законов природы характерные (представляющие) ситуации принадлежат к классу неустойчивых хаотических систем, которые мы отождествили с существованием несводимых вероятностных представлений. Это новое определение динамического хаоса включает в себя его обычное определение (в простых ситуациях, например в случае отображений, рассмотренных нами в гл. 5 и 9, оба определения эквивалентны) и допускает обобщение на более сложные ситуации (гл. 10 и 11), соответствующие подавляющему большинству случаев, представляющих физический интерес.

Как ни удивительно, но новая формулировка законов динамики позволяет решать и некоторые технические проблемы. Смысл хаоса состоит ныне не в том, что он ставит предел нашему знанию, — хаос позволяет по-новому сформулировать то, что нам надлежит познать. В классической динамике законы хаоса мы ассоциируем с описанием долговременной эволюции отображений (см. гл. 5 и 9) и с интегрированием “неинтегрируемых” систем Пуанкаре. Иначе говоря, наши методы дают нам алгоритмы, более мощные, нежели алгоритмы классической динамики. Аналогично, в квантовой механике наши алгоритмы позволяют устранить трудности, стоящие на пути реализации программы Гей-зенберга, т.е. решения задачи на собственные значения. Даже такая простая проблема, как задача о потенциальном рассеянии, приводит к неинтегрируемым системам Пуанкаре. Именно поэтому физики были вынуждены обратиться к теории S-матрицы, т.е. к идеализации рассеяния, рассматривающей процесс взаимодействия как происходящий в течение ограниченного времени. Для простых проблем такое упрощение вполне удовлетворительно, однако оно исключает из рассмотрения неисчезающие взаимодействия, которые встречаются в статистической механике (в задаче N тел или космологии). Учитывая все это, необходимо обратиться к нашей новой формулировке.

Причина успеха нового подхода кроется в переходе к более мощным математическим средствам. Хорошо известно, что задача, неразрешимая с помощью одного алгоритма, может стать разрешимой, если мы обратимся к другому алгоритму. Вопрос о существовании корней алгебраического уравнения неразрешим в области вещественных чисел (некоторые алгебраические уравнения могут не иметь ни одного вещественного корня), но стоит нам перейти в область комплексных чисел, как ответ становится очень простым: каждое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет n корней. Знаменитая теорема Геделя утверждает, что не существует конечной аксиоматической системы, в рамках которой были бы разрешимы все проблемы. Поэтому отношение между проблемами и средствами, необходимыми для их решения, — процесс открытый, творческий, способный служить великолепной иллюстрацией творческого созидания человеком смысла, свободного и в то же время ограниченного решаемой задачей.

Введение несводимых вероятностных представлений подразумевает переход от гильбертова пространства к обобщенным пространствам. Еще в самом начале нашей книги мы упомянули об аналогии с переходом от евклидовой к римановой геометрии (см. также гл. 7 и 11). Действительно, гильбертово пространство является обобщением евклидова пространства при переходе от конечномерных векторов к функциям. В гильбертовом пространстве мы используем только “хорошие” функции (с конечной нормой, см. гл. 7), в то время как в обобщенном пространстве разрешается также использовать сингулярные, обобщенные, функции. В результате возникает необходимость в пробных функциях. Это существенный элемент перехода к несводимым вероятностным представлениям.

Другим существенным элементом является существование хронологического (временного) упорядочения. В гармоническом осцилляторе (классическом или квантовом) время однозначно связано с законами движения. Но в неинтегрируемых системах время играет двойственную роль (см. гл. 9 и 10). Возникает естественное упорядочение, связанное с течением времени. Простейший тому пример — различие между запаздывающими опережающими потенциалами, введенное еще в гл. 1. В общем виде это временное упорядочение может быть осуществлено на статистическом уровне описания в терминах ансамблей. Именно этот подход и позволяет нам получать несводимые представления. Если устойчивые системы ассоциируются с понятием детерминистического, симметричного, времени, то неустойчивые хаотические системы ассоциируются с понятием вероятностного

времени, подразумевающего нарушение симметрии между прошлым и будущим.

Ограниченность традиционного описания в терминах отдельных траекторий или отдельных волновых функций не должно быть чем-то удивительным. Когда мы толкуем об истории архитектуры, то имеем в виду не отдельные кирпичи, а здания в целом. С возрастом мы стареем, но этот процесс затрагивает не отдельные атомы и молекулы, а отношения между ними. Нередко приходится слышать, что история в наши дни все ускоряет и ускоряет свой бег. И в этом случае сказанное относится не к изменению природы отдельных людей, а к изменению отношений между ними, возникшему в результате небывалого развития средств связи, которое привело к созданию глобальной коммуникационной сети. Даже рождение новых идей у того или иного человека обусловлено тем, что мы погружены в разделяемый многими мир значений, проблем и отношений. Ситуация, с которой мы сталкиваемся в физике, много проще. Однако и в этом случае нам надлежит выйти за рамки концепции времени как параметра, описывающего движения отдельных систем. Адекватное физическое описание хаотических систем, эволюции во времени, включающее в себя необратимость и вероятность, достижимо только на уровне ансамблей.