Пример 8.1. Собственные функции и собственные значения оператора

Импульса.

Имеем уравнение

79Произведем разделение переменных:

dq, i

=

Отсюда

In ф = -г-Р

Коэффициент С определяется условием нормировки на 6-функцию, после чего

1 тг Р'*

Ч> = -^Ге ■ (8-2)

Чтобы функции (8.2) были всюду ограничены, значения р, должны быть дей-

действительными числами. Отсюда видно, что спектр оператора проекции импульса —

это совокупность всех действительных чисел.

Пример 8.2. Собственные функции и собственные значения оператора

Координаты х.

Уравнение

*ф*„М=*о<рх„М

не имеет решений среди обычных функций. Исходя из свойств 5-функции легко

проверить выполнение символического равенства

хЬ (х — х0)=хо б (х — *о).

Действительно,

\ хЪ (х — хо) dx = xo) Ь(х —

Поэтому собственные функции оператора х суть уХо(х) = Ь(х — хо), где х0 — любое

действительное число.

Вид оператора импульса и операторов ряда других величин

не зависит от свойств частиц и тех физических условий, в которых

происходит их движение. Поэтому спектр этих операторов всегда

один и тот же. Но вид оператора Гамильтона и его собственные

значения различны для различных частиц и зависят от вида силового

поля, действующего на частицы.

В связи с вопросом об операторах физических величин важно

заметить, что не все физические величины представлены оператора-

операторами. Такие характеристики микрочастицы, как масса, электрический

заряд, важнейшие физические постоянные в нерелятивистской

квантовой механике являются не операторами, а вещественными

числами, входящими в формулы и уравнения в качестве параметров.

Можно сказать, что величина, построенная по принципу соответ-

соответствия из операторов координат и импульса, сама есть оператор.

В противном случае (в нашем курсе за исключением не имеющейся

в классической физике величины — спина микрочастицы) это число.