Операторы в квантовой механике. При вычислении средних значений различных физических величин в квантовой механике поступают следующим образом

При вычислении средних значений различных физических величин в квантовой механике поступают следующим образом. Каждой физиче­ской величине а ставится в соответствие оператор , -> a^ который символи­зирует совокупность математических операций, производимых над вол­новой функцией . Результатом этих операций является другая функция

Координате х частицы соответствует оператор , который по опреде­лению равен х:

(19.18)

Таким образом, действие оператора на волновую функцию

в данном случае сводится к ее умножению на x. В результате получим функцию

Оператор импульса определяется так:

(19.19)

Из этого определения следует, что

т.е. действие оператора на функцию ψ состоит в дифференцировании функции по х и умножении на -iћ.

Согласно определению (19.19) оператор импульса частицы можно записать как

(19.20)

где - дифференциальный оператор "набла" такой, что

Оператор кинетической энергии связан с оператором импульса так же, как кинетическая энергия частицы Т связана с ее импульсом :

= = ,

где

- оператор Лапласа.

Оператор потенциальной энергии равен самой потенциальной энергии: (19.21)

(19.22)

Оператор полной энергии называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом. Этот оператор равен сумме операторов кинетической и потенциальной энергий:

. (19.23)

Более подробно это символическое равенство можно записать так:

= ,

Физический смысл какого-либо оператора а в квантовой механике за­ключается в том, что с его помощью по формуле

(19.25)

можно вычислить среднее значение величины а. В общем случае среднее значение изменяется с течением времени: . В частном случае, когда средние значения всех физических величин, характеризующих дви­жение микрочастицы, не зависят от времени, состояние частицы называ­ется стационарным. Такое состояние описывается волновой функцией вида

(19.26)

где ω - постоянная, а функция зависит только от радиус-вектора . Так как комплексно сопряженная функция

подстановка функции (19.26) в формулу (19.25) дает среднее значение

(19.27)

которое не изменяется с течением времени.

Подстановка функции (19.26) в условие нормировки (19.17) приводит

к равенству

(19.28)