Схема исследования и построения графика функции

Чтобы исследовать функцию и построить ее график, действия рекомендуется проводить в следующем порядке.

1. Нахождение области определения функции. Исследование на четность, нечетность, периодичность. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.

2. Исследование функции на непрерывность. Вычисление пределов функции при x стремящемся к границам области определения и к точкам разрыва.

3. Нахождение асимптот функции.

4. Нахождение и исследование ее знаков. Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов.

5. Нахождение и исследование ее знаков. Нахождение интервалов различного направления выпуклости и точек перегиба.

6. Построение таблицы, в которой указываются все найденные точки разрыва, критические точки первого и второго порядка и интервалы между ними. В каждом интервале характеризуется поведение функции.

7. Построение графика функции с учетом ее асимптот и таблицы. При необходимости можно вычислить промежуточные значения функции.

Глава 5. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия о функциях нескольких переменных

1.1. Пусть имеется переменных величин и каждому набору их значений из некоторого подмножества соответствует определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных . Переменные называются независимыми переменными или аргументами, - зависимой переменной, а символ означает закон соответствия. Множество называется областью определения функции. Пусть теперь - некоторое подмножество на плоскости (в пространстве ).

Определение. Функцией двух (трех) переменных называется функция, область определения которой есть некоторое подмножество плоскости R² (см. рис. 1) (пространства R³), а область значений принадлежит действительной оси R.

Соответствующие обозначения: .

Рис. 1

Окрестностью точки на плоскости (или в пространстве) радиуса называется круг без окружности (или шар без сферы) радиуса с центром в точке .

Такую окрестность будем обозначать через . Здесь n =2 или 3. Если , то (см. рис. 2).

Рис. 2

Точка называется граничной точкой для множества , если окрестности любого радиуса этой точки пересекаются как с множеством , так и с его дополнением. Множество всех граничных точек множества называется границей этого множества и обозначается через .

Множество , содержащее всю свою границу , называется замкнутым. Множество , не содержащее ни одной точки своей границы, называется открытым.