Приложение

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ПО СЛОЖЕНИЮ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами А₁ и А₂, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где φ_{0, 1}, φ_{0, 2} — начальные фазы.

• Начальная фаза φ₀ результирующего колебания может быть найдена по формуле

tg .

• Биения, возникающие при сложении двух колебаний x ₁= A cos2π ν ₁ t, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν ₁ и ν ₂, описываются формулой

x = x ₁ + x ₂ + 2 A cos π (ν₁ – ν₂) t •cosπ(ν₁+ν₂) t.

• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты с амплитудами А ₁ и А ₂ и начальными фазами φ_{0, 1} и φ_{0, 2}:

.

Если начальные фазы φ_{0, 1} и φ_{0, 2} составляющих колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид . Если же начальные фазы отличаются на π, то уравнение траектории имеет вид . Это уравнения прямых линий, проходящих через начало координат, иными словами, в этих случаях точка движется по прямой. В остальных случаях движение происходит по эллипсу. При разности фаз оси этого эллипса расположены по осям ОX и ОY и уравнение траектории принимает вид . Такие колебания называются эллиптическими. При A₁=A₂=A x₂+y₂=A₂. Это уравнение окружности, и колебания называются круговыми. При других значениях частот и разностей фаз траектории колеблющейся точки образует причудливой формы кривые, называемые фигурами Лиссажу.

РАЗБОР НЕКОТОРЫХ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

ПО УКАЗАННОЙ ТЕМЕ

Задача 1. Из графика колебаний материальной точки следует, что модуль скорости в момент времени t = 1/3 с равен...

o 9 см/с

o см/с

o 9 π см/с

o 0

Решение.

Период гармонического колебания, изображенного на рисунке, равен 2 секундам. Амплитуда этого колебания 18 см. Поэтому зависимость x (t) можно записать в виде x(t) = 18sin πt. Скорость равна производной функции х (t) по времени v (t) = 18 π cos πt. Подставив t = (1/3) с, получим v (1/3) = 9π (см/с).

Правильным является ответ: 9 π см/с.

Задача 2.

Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами A₀. При разности амплитуда результирующего колебания равна...

o

o 0

o

o 2 A ₀

Решение.

Решение существенно упрощается, если использовать векторный метод определения амплитуды и фазы результирующего колебания. Для этого одно из складываемых колебаний представим в виде горизонтального вектора с амплитудой А ₁. Из конца этого вектора построим второй вектор с амплитудой А ₂ так, чтобы он образовал угол с первым вектором. Тогда длина вектора, проведенного из начала первого вектора в конец последнего, будет равна амплитуде результирующего колебания, а угол, образуемый результирующим вектором с первым вектором, будет определять разность их фаз. Векторная диаграмма, соответствующая условию задания, приведена на рисунке. Отсюда сразу видно, что амплитуда результирующего колебания в раз больше амплитуды каждого из складываемых колебаний.

Правильным является ответ: .

Задача 3.

ТочкаМ одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат ОХ и OY с различными амплитудами, но одинаковыми частотами. При разности фаз π/2 траектория точки М имеет вид:

o 3

o 2

o 1

o 4

Решение.

При заданной в условии разности фаз уравнением траектории является уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний (см. теоретические сведения).

Правильным является ответ: 1.

Задача 4.

Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами A₁=10 см и А₂=6 см складываются в одно колебание с амплитудой А_рез=14 см. Разность фаз складываемых колебаний равна...

o 0

o

o

o

o

В этом случае удобно воспользоваться формулой . Подставив в нее данные из условия задания, получим: .

Этому значению косинуса соответствует .

Правильным является ответ: .

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются гармоническими? 2. Какой вид имеет график незатухающих гармонических колебаний? 3. Какими величинами характеризуется гармонический колебательный процесс? 4. Приведите примеры колебательных движений из биологии и ветеринарии. 5. Напишите уравнение гармонических колебаний. 6. Как получить выражение для периода колебательного движения пружинного маятника?

ЛИТЕРАТУРА

1. Грабовский Р. И. Курс физики. — М.: Высшая школа, 2008, ч. I, § 27—30.

2. Основы физики и биофизики. Журавлёв А. И., Белановский А. С., Новиков В. Э., Олешкевич А. А. и др. — М., Мир, 2008, гл. 2.

3. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов. — М.: МГАВМиБ, 2008. — гл. 18.

4. Трофимова Т. И. Физика в таблицах и формулах: Учеб. пособие для студентов вузов. — 2-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2004. — 432 с.