Уравнение Шредингера для частицы, движущейся в потенциальном поле

Волновой функцией, описывающей свободную части­цу, является волна де Бройля. Возникает вопрос, как найти волновую функцию несвободной частицы, напри­мер частицы, движущейся в потенциальном поле?

Шредингер получил дифференциальное уравнение для волновой функции частицы, движущейся в потенци­альном поле, на основе аналогии между оптикой и ме­ханикой. Покажем, как это можно сделать. Потенци­альную энергию частицы запишем в виде U(x, у, z). Пусть частица в данный момент времени описывается волновой функцией ψ (x, у, z), дифференциальное урав­нение для которой надо установить. Решая это диффе­ренциальное уравнение, находим функцию ψ (x, у, z).

Известно, что при движении частицы в потенциальном поле ее полная энергия сохраняется (т. е. E=const). Такое движение аналогично движению свободной части­цы, для которой также имеем E=const. На основании этой аналогии предположим, что зависимость от времени волновой функции частицы с определенным значением энергии в потенциальном поле такая же, как и для волны де Бройля ψ = ψ₀℮‹-^i/n) ^(et-pr). Таким образом, волновая функция частицы, движущейся в потенциальном поле, будет иметь вид ψ(x, y, z, t)=ψ(x, y, z)exp ((-i\Ћ)Et

Что бы получить диф. Ур-ние для ψ(x, y, z), необходимо установить аналогию между принципом Ферма в оптике и принципом наименьшего действия в кл. механике.

Полная энергия движения ч-цы в потенц. Поле:

E=(p²/2m₀)+U(x,y,z)=const

P=√2m₀(E-U(x,y,z))

Решая задачу получим:

(-Ћ²∕2m0)∆ψ+U(x.y.z)ψ=Eψ

Решая это уравнение, находим ψ, а так же можно найти En. Решение будет зависить от конкретных граничных условий.