Односторонние и двусторонние критерии

Наиболее часто встречаются статистические гипотезы, связанные со сравнением различных выборок.

Рассмотрим следующий пример. Изучаются два типа резцов, применяемых при обработке деталей на токарном станке. С помощью резцов получают некоторое число дета­лей. Диаметры этих деталей образуют две выборки, соот­ветствующие каждому типу резца; дисперсии этих выборок несколько различаются. Такое различие может, конечно, оказаться результатом случайных причин, а может быть и следствием разницы резцов. Зная, что распределения ре­зультатов по каждому резцу являются нормальными, мы должны фактически проверить гипотезу, одинаковы ли генеральные дисперсии этих распределений. Если такая ги­потеза будет отвергнута, то одному из резцов нужно будет отдать предпочтение.

Другим примером может служить сравнительное испы­тание на всхожесть двух сортов пшеницы. Вычисляя коли­чество проросших семян каждого сорта на нескольких уча­стках, мы, как и выше, получим две выборки, у которых теперь нужно сравнивать средние. Если генеральные сред­ние обоих соответствующих распределений окажутся оди­наковыми, то различие между сортами пшеницы будет толь­ко случайным; если же они окажутся разными, то различны по всхожести и сами сорта.

Сравнение двух или нескольких выборок приходится проводить, сравнивая различные методики анализа, раз­личные условия производства; с такой же задачей прихо­дится сталкиваться при обработке «текущих измерений». Весьма важно следить за неизменностью основ­ных параметров при исследованиях, требующих длительного времени.

Приведенным примерам соответствует следующая об­щая схема. Найдены два значения некоторого выборочного параметра. Эти значения можно рассматривать как оценки генеральных параметров А₁ и А₂. Высказывает­ся гипотеза, что различие между α₁ и α₂ чисто случайное и что на самом деле А₁ = А₂, т. е. между генеральными пара­метрами нет различий. Такая гипотеза называется нуле­вой. Для проверки этой гипотезы нужно выяснить, значимо ли расхождение между α₁ и α₂ в условиях нулевой гипоте­зы. С этой целью обычно исследуют случайную величину Δα = α₁ – α₂ и проверяют, значимо ли ее отличие от нуля. Иногда удобнее рассматривать величину α₁/α₂ , сравнивая ее с единицей.

Гипотеза А₁ ≠ А₂ называется альтернативной. Отвер­гая нулевую гипотезу, мы тем самым принимаем альтерна­тивную гипотезу. Альтернативная гипотеза в свою очередь распадается на две: А₁ > А₂ и А₁ < А₂. Если одно из этих неравенств заведомо невозможно, то альтернативная ги­потеза называется односторонней и для ее проверки приме­няются односторонние критерии значимости (в отличие от обычных, двусторонних ).

Как будет показано ниже, односторонний критерий зна­чимости имеет намного меньшую вероятность ошибки вто­рого рода, чем соответствующий двусторонний. Уже из этого видно, насколько полезно предварительно выяснить, какой из сравниваемых параметров А₁ и А₂ не может быть меньше другого. Односторонний характер альтернативной гипотезы зачастую вытекает из самой постановки задачи. Например, изучая эффективность некоторого усовершен­ствования производственного процесса, мы заранее можем считать, что это усовершенствование способно лишь умень­шить дисперсию процесса. Точно так же при исследовании удобрения можно считать, что его применение увеличивает среднюю урожайность (т. е. генеральное среднее).

Односторонний критерий значимости легко получать из двустороннего. Обратимся к рис. 3. Мы видим, что кри­тическая область гипотезы (заштрихованная на рис. 3) состоит из двух частей. Каждая часть соответствует своему неравенству: А₁ > А₂ или А₁ < А₂. Если мы заранее знаем, что возможно лишь одно из этих неравенств, то и рассмат­ривать мы должны лишь одну из половин критической области. Вероятность попадания в критическую область уменьшится, тем самым, ровно вдвое и станет равна р/2.

Таким образом, при одностороннем критерии значимо­сти можно использовать те же критические значения, что и при двустороннем, однако этим значениям будет соответ­ствовать вдвое меньший уровень значимости. Например, уровню значимости 0,05 при двустороннем критерии соот­ветствуют критические значения ξ _0,025 и ξ _0,975 , т.е. значи­мыми (неслучайными) считаются значения ξ _о,, удовлетво­ряющие неравенствам ξ _о < ξ _0,025 и ξ _о > ξ _0,975. Если же перей­ти к одностороннему критерию, то одно из этих неравенств (например, ξ _о < ξ _0,025) заведомо невозможно и значимыми будут лишь значения ξ _о удовлетворяющие другому нера­венству (ξ _о > ξ _0,975). Вероятность последнего неравенства равна 0,025, таков и будет уровень значимости односторон­него критерия.

Обычно для одностороннего критерия берут тот же уро­вень значимости, что и для двустороннего, так как ошибка первого рода в обоих случаях нежелательна совершенно одинаково. Для этого нужно выводить односторонний кри­терий из двустороннего, соответствующего вдвое большему уровню значимости, чем тот, что нами принят. Так, в пре­дыдущем примере, желая сохранить уровень значимости 0,05 для одностороннего критерия, мы для двустороннего должны были бы взять уровень 0,10, что дало бы критиче­ские значения ξ _0,05 и ξ _0,95 . Из этих значений для односторон­него критерия сохраняется одно (скажем, ξ _0,95), которое и бу­дет окончательным критическим значением, соответствую­щим одностороннему критерию при уровне значимости 0,05.

Итак, при одном и том же уровне значимости 0,05 од­ному и тому же неравенству A₁ >A₂ в случае двустороннего критерия соответствует критическое значение ξ _0,975, а од­ностороннего — ξ _0,95. Но ξ _0,95 < ξ _0,975, значит, при одностороннем критерии большее число значений ξ _о придется считать не случайными (значимыми), большее число ги­потез будет отвергнуто. Тем самым уменьшится вероят­ность принять неверную гипотезу, допустить ошибку вто­рого рода. А вероятность ошибки первого рода как для одностороннего, так и для двустороннего критерия остается одинаковой, ибо она равна уровню значимости.

Чтобы нагляднее подчеркнуть преимущества односто­роннего критерия значимости перед двусторонним, приве­дем следующий пример. Сталеплавильный завод изготов­ляет специальную сталь, которая должна содержать 40% ванадия. Контроль ведется на уровне значимости 0,05; методика контроля дает нормальное распределение резуль­татов со стандартом σ = 2%. Контрольный анализ партии стали дал для содержания ванадия значение 36,4 %. Доста­точно ли этого результата, чтобы забраковать партию?

Обозначим через ξ результат произвольного анализа над доброкачественной сталью. Согласно условиям задачи ве­личина ξ имеет нормальное распределение с параметрами а = 40 и σ = 2. Правило вычисления квантилей такого рас­пределения было указано в п.1. Используя таблицы II Приложения [ 1 ], найдем

υ_0,025 = 40 + 2 и _0,025 = 40 – 2*1,96 = 36,08,

υ_0,975 = 40 + 2 и _0,975 = 40 + 2 •1,96 = 43,92.

В качестве нулевой гипотезы здесь нужно взять гипо­тезу о том, что исследуемая сталь доброкачественна и, сле­довательно, значение ξ _о = 36,4 появилось в результате слу­чайностей анализа. Критическими значениями такой ги­потезы при двустороннем критерии будут числа υ_0,025 = 36,08 и υ_0,975 = 43,92; критическая область образуется неравенст­вами ξ < 36,08 и ξ > 43,92. Значение ξ _о =36,4 не попадает в эту критическую область, следовательно, двусторонний критерий не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу и счи­тать сталь недоброкачественной.

Условия задачи позволяют применить односторонний критерий значимости. Действительно, найденное значение ξ _о =36,4 меньше медианы υ_0,50 = 40, поэтому его можно сравнивать только с теми критическими значениями, кото­рые меньше 40. Критическим значением проверяемой нуле­вой гипотезы при одностороннем критерии является кван­тиль

υ_0,05 = 40 + 2 u _0,05=40 – 2 • 1,64 = 36,72.

Мы видим, что ξ _о < 36,72, т. е. ξ _о попадает в критическую область. Таким образом, односторонний критерий, как бо­лее точный, сумел, при тех же исходных данных выявить недоброкачественность стали.