Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Односторонние и двусторонние критерии





Наиболее часто встречаются статистические гипотезы, связанные со сравнением различных выборок.

Рассмотрим следующий пример. Изучаются два типа резцов, применяемых при обработке деталей на токарном станке. С помощью резцов получают некоторое число дета­лей. Диаметры этих деталей образуют две выборки, соот­ветствующие каждому типу резца; дисперсии этих выборок несколько различаются. Такое различие может, конечно, оказаться результатом случайных причин, а может быть и следствием разницы резцов. Зная, что распределения ре­зультатов по каждому резцу являются нормальными, мы должны фактически проверить гипотезу, одинаковы ли генеральные дисперсии этих распределений. Если такая ги­потеза будет отвергнута, то одному из резцов нужно будет отдать предпочтение.

Другим примером может служить сравнительное испы­тание на всхожесть двух сортов пшеницы. Вычисляя коли­чество проросших семян каждого сорта на нескольких уча­стках, мы, как и выше, получим две выборки, у которых теперь нужно сравнивать средние. Если генеральные сред­ние обоих соответствующих распределений окажутся оди­наковыми, то различие между сортами пшеницы будет толь­ко случайным; если же они окажутся разными, то различны по всхожести и сами сорта.

Сравнение двух или нескольких выборок приходится проводить, сравнивая различные методики анализа, раз­личные условия производства; с такой же задачей прихо­дится сталкиваться при обработке «текущих измерений». Весьма важно следить за неизменностью основ­ных параметров при исследованиях, требующих длительного времени.

Приведенным примерам соответствует следующая об­щая схема. Найдены два значения некоторого выборочного параметра. Эти значения можно рассматривать как оценки генеральных параметров А1 и А2. Высказывает­ся гипотеза, что различие между α1 и α2 чисто случайное и что на самом деле А1 = А2, т. е. между генеральными пара­метрами нет различий. Такая гипотеза называется нуле­вой. Для проверки этой гипотезы нужно выяснить, значимо ли расхождение между α1 и α2 в условиях нулевой гипоте­зы. С этой целью обычно исследуют случайную величину Δα = α1 – α2 и проверяют, значимо ли ее отличие от нуля. Иногда удобнее рассматривать величину α12 , сравнивая ее с единицей.

Гипотеза А1 ≠ А2 называется альтернативной. Отвер­гая нулевую гипотезу, мы тем самым принимаем альтерна­тивную гипотезу. Альтернативная гипотеза в свою очередь распадается на две: А1 > А2 и А1 < А2. Если одно из этих неравенств заведомо невозможно, то альтернативная ги­потеза называется односторонней и для ее проверки приме­няются односторонние критерии значимости (в отличие от обычных, двусторонних).

Как будет показано ниже, односторонний критерий зна­чимости имеет намного меньшую вероятность ошибки вто­рого рода, чем соответствующий двусторонний. Уже из этого видно, насколько полезно предварительно выяснить, какой из сравниваемых параметров А1 и А2 не может быть меньше другого. Односторонний характер альтернативной гипотезы зачастую вытекает из самой постановки задачи. Например, изучая эффективность некоторого усовершен­ствования производственного процесса, мы заранее можем считать, что это усовершенствование способно лишь умень­шить дисперсию процесса. Точно так же при исследовании удобрения можно считать, что его применение увеличивает среднюю урожайность (т. е. генеральное среднее).

Односторонний критерий значимости легко получать из двустороннего. Обратимся к рис. 3. Мы видим, что кри­тическая область гипотезы (заштрихованная на рис. 3) состоит из двух частей. Каждая часть соответствует своему неравенству: А1 > А2 или А1 < А2. Если мы заранее знаем, что возможно лишь одно из этих неравенств, то и рассмат­ривать мы должны лишь одну из половин критической области. Вероятность попадания в критическую область уменьшится, тем самым, ровно вдвое и станет равна р/2.

Таким образом, при одностороннем критерии значимо­сти можно использовать те же критические значения, что и при двустороннем, однако этим значениям будет соответ­ствовать вдвое меньший уровень значимости. Например, уровню значимости 0,05 при двустороннем критерии соот­ветствуют критические значения ξ0,025 и ξ0,975 , т.е. значи­мыми (неслучайными) считаются значения ξо,, удовлетво­ряющие неравенствам ξо < ξ0,025 и ξо > ξ0,975 . Если же перей­ти к одностороннему критерию, то одно из этих неравенств (например, ξо < ξ0,025) заведомо невозможно и значимыми будут лишь значения ξо удовлетворяющие другому нера­венству (ξо > ξ0,975). Вероятность последнего неравенства равна 0,025, таков и будет уровень значимости односторон­него критерия.

Обычно для одностороннего критерия берут тот же уро­вень значимости, что и для двустороннего, так как ошибка первого рода в обоих случаях нежелательна совершенно одинаково. Для этого нужно выводить односторонний кри­терий из двустороннего, соответствующего вдвое большему уровню значимости, чем тот, что нами принят. Так, в пре­дыдущем примере, желая сохранить уровень значимости 0,05 для одностороннего критерия, мы для двустороннего должны были бы взять уровень 0,10, что дало бы критиче­ские значения ξ0,05 и ξ0,95 . Из этих значений для односторон­него критерия сохраняется одно (скажем, ξ0,95), которое и бу­дет окончательным критическим значением, соответствую­щим одностороннему критерию при уровне значимости 0,05.

Итак, при одном и том же уровне значимости 0,05 од­ному и тому же неравенству A1 >A2 в случае двустороннего критерия соответствует критическое значение ξ0,975, а од­ностороннего — ξ0,95 . Но ξ0,95 < ξ0,975 , значит, при одностороннем критерии большее число значений ξо придется считать не случайными (значимыми), большее число ги­потез будет отвергнуто. Тем самым уменьшится вероят­ность принять неверную гипотезу, допустить ошибку вто­рого рода. А вероятность ошибки первого рода как для одностороннего, так и для двустороннего критерия остается одинаковой, ибо она равна уровню значимости.

Чтобы нагляднее подчеркнуть преимущества односто­роннего критерия значимости перед двусторонним, приве­дем следующий пример. Сталеплавильный завод изготов­ляет специальную сталь, которая должна содержать 40% ванадия. Контроль ведется на уровне значимости 0,05; методика контроля дает нормальное распределение резуль­татов со стандартом σ = 2%. Контрольный анализ партии стали дал для содержания ванадия значение 36,4 %. Доста­точно ли этого результата, чтобы забраковать партию?

Обозначим через ξ результат произвольного анализа над доброкачественной сталью. Согласно условиям задачи ве­личина ξ имеет нормальное распределение с параметрами а = 40 и σ = 2. Правило вычисления квантилей такого рас­пределения было указано в п.1. Используя таблицы II Приложения [ 1 ], найдем

 

υ0,025 = 40 + 2 и0,025 = 40 – 2*1,96 = 36,08,

υ0,975 = 40 + 2 и0,975 = 40 + 2 •1,96 = 43,92.

В качестве нулевой гипотезы здесь нужно взять гипо­тезу о том, что исследуемая сталь доброкачественна и, сле­довательно, значение ξо = 36,4 появилось в результате слу­чайностей анализа. Критическими значениями такой ги­потезы при двустороннем критерии будут числа υ0,025 = 36,08 и υ0,975 = 43,92; критическая область образуется неравенст­вами ξ < 36,08 и ξ > 43,92. Значение ξо =36,4 не попадает в эту критическую область, следовательно, двусторонний критерий не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу и счи­тать сталь недоброкачественной.

Условия задачи позволяют применить односторонний критерий значимости. Действительно, найденное значение ξо =36,4 меньше медианы υ0,50 = 40, поэтому его можно сравнивать только с теми критическими значениями, кото­рые меньше 40. Критическим значением проверяемой нуле­вой гипотезы при одностороннем критерии является кван­тиль

 

υ0,05 = 40 + 2 u0,05=40 – 2 • 1,64 = 36,72.

 

Мы видим, что ξо < 36,72, т. е. ξо попадает в критическую область. Таким образом, односторонний критерий, как бо­лее точный, сумел, при тех же исходных данных выявить недоброкачественность стали.

 








Date: 2015-05-19; view: 1512; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2017 year. (0.009 sec.) - Пожаловаться на публикацию