Операторы спина электрона. Спиноры

Операторы спина аналогичны операторам момента импульса

, , ,

,

.

Операторы удовлетворяют соотношениям, аналогичным (4.5):

,

,

,

,

, . (7.7)

Спин не связан с координатой и импульсом, поэтому коммутирует с ними. Уравнения для собственных функций операторов спина аналогичны (4.14)–(4.15)

,

. (7.8)

В набор квантовых чисел электрона в атоме кроме n, l, m входит спиновое число . Функция состояния факторизована

.

Матрицы Паули. Поскольку – двузначная величина, то считаем двухэлементной матрицей – спинором

тогда операторы спина получают матричную форму

, , , . (7.9)

Матрицы Паули

, , , , (7.10)

,

где – единичная матрица, обеспечивают выполнение коммутационных соотношений (7.7) для операторов спина. Это следует из соотношений

,

,

,

,

,

,

, , ; ,

, , . (7.11)

Выполняются соотношения

,

,

, , .

Эрмитово сопряжение «+» матрицы включает комплексное сопряжение * и транспонирование T ее элементов

. (7.12)

Используя (7.9) и (7.10)

, , ,

, , ,

получаем, что операторы спина и матрицы Паули эрмитовые. Например, для

находим

.