Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Вариационный метод. Если возмущение сильное и не выполняется условие применимости теории возмущений
Если возмущение сильное и не выполняется условие применимости теории возмущений ,
то можно приближенно получить состояние системы в аналитической форме по заданному гамильтониану вариационным методом, который разработал Вальтер Ритц в 1908 г. Метод использует функционал энергии в виде среднего от гамильтониана по состоянию системы. Физическое состояние соответствует минимуму функционала. Для получения функционала (функции от функции) задается пробное состояние с набором параметров. Минимум функционала при вариации параметров дает эти параметры, состояние и энергию системы. Метод не позволяет оценить погрешность результата. Функционал энергии. Стационарная система находится в состоянии y с условием нормировке . Среднее от гамильтониана
(6.48)
рассматриваем как функцию с аргументом . Изучим свойства функционала. Основное состояние. Собственные функции гамильтониана с дискретным спектром удовлетворяют
,
.
Искомое состояние y разлагаем по базису . Нормировка требует . Средняя энергия в состоянии y не может быть меньше энергии основного состояния Е 0, тогда
. (6.49)
В пространстве нормированных функций y абсолютный минимум функционала энергии равен энергии основного состояния Е 0. Функция , обеспечивающая этот минимум, является волновой функцией основного состояния. Возбужденное состояние y ортогонально j0, тогда в разложении
отсутствует слагаемое с j0. Аналогично предыдущему получаем . В подпространстве нормированных функций y, ортогональных j0, абсолютный минимум функционала энергии равен энергии первого возбужденного состояния Е 1. Функция , обеспечивающая минимум, является функцией этого состояния. Аналогично находятся энергии и волновые функции вышерасположенных уровней. Вариационный метод Ритца для стационарной одномерной системы использует волновую функцию с параметрами a и А. Условие нормировки дает . Вариация функции сводится к вариации параметра a. Для функционала энергии (6.48)
условие экстремума (6.50) дает величину a. Алгоритм применения метода: 1. Выбираем пробную квадратично интегрируемую функцию основного состояния
с параметрами α и A, исходя из граничных условий, симметрии, особенностей системы и ее состояния. 2. Нормировка дает . 3. Используя гамильтониан системы, вычисляем функционал
.
4. Условие экстремума дает a0 и волновую функцию основного состояния
.
Подставляем a0 в функционал и находим
,
ограничивающую сверху энергию основного состояния.
5. Для первого возбужденного состояния выбираем пробную функцию
с параметрами β и B, удовлетворяющую условиям ортогональности и нормировки: ,
, и находим . 6. Вычисляем функционал энергии с искомой функцией
. Из условия экстремума (6.51)
получаем b1, волновую функцию и энергию
,
,
ограничивающую сверху энергию первого возбужденного состояния. Аналогично определяются остальные состояния.
|