Значения операторА

Собственная функция оператора удовлетворяет уравнению

, (2.8)

– собственное значение оператора.

Если система находится в состоянии , то измерение величины a, описываемой оператором , дает однозначный результат .

Спектр оператора – множество его собственных значений .

Если счетное, то спектр дискретный.

Если образует непрерывный набор, то спектр непрерывный.

Если k разных собственных функций имеют одинаковые собственные значения, то спектр k- кратно вырожден.

Коммутирующие операторы имеют одинаковый набор собственных функций, соответствующие физические величины одновременно имеют определенные значения.

Доказательство:

Пусть – собственная функция , тогда

, .

Из коммутативности

,

тогда

.

Следовательно, – собственная функция , пропорциональная :

.

В результате – собственная функция с собственным значением .

Оператор координаты. Пусть – собственная функция с собственным значением , тогда

.

Сравниваем с фильтрующим свойством дельта-функции

,

находим . Условие нормировки дает , тогда

. (2.9)

Функция равна нулю во всех точках, кроме .

x ₀ – любое вещественное число, спектр непрерывный.