Эффект Клейна

Эффект Клейна состоит в прохождении релятивистской частицы через потенциальный барьер любой высоты и ширины без ослабления волны. В графене наблюдается туннельный эффект с коэффициентом прохождения , т. е. барьер не создает сопротивление носителям тока. Эффект следует из соотношения неопределенностей Гейзенберга с учетом рождения-исчезновения частиц в релятивистской квантовой механике. Благодаря высокой скорости электрон находится в области, занятой барьером, малое время , тогда его энергия варьирует на большую величину . За счет этой энергии в области барьера рождается дырка. Для дырки барьер перевернут, является ямой, и внутри барьера дырка движется навстречу электрону за счет кулоновского взаимодействия. На входе в барьер электрон объединяется с дыркой и аннигилирует. На выходе из барьера происходит рождение электрона и дырки, электрон удаляется от барьера, дырка уходит внутрь барьера. Эффект исследовал О. Б. Клейн в 1929 г. на основе уравнения Дирака для частицы со спином 1/2. Он обнаружил парадокс – при падении релятивистской частицы массой μ на потенциальную ступеньку поток плотности вероятности отраженной волны превосходит поток падающей волны. Создание барьера величиной требует очень сильного поля и эффект может проявляться лишь в экзотических случаях, например, при испарении черной дыры. В графене вблизи уровня Ферми эффективная масса электрона равна нулю. В результате эффект Клейна проявляется в графене при движении носителей тока через любой барьер.

Рассмотрим электрон, движущийся в графене вдоль оси x с импульсом , с энергией и падающий нормально на прямоугольный барьер шириной a и высотой , показанный на рис. 8.4. Заштрихована часть зон, заполненных носителями тока. В областях вне барьера электрон находится в зоне проводимости и создает электрический ток, показанный стрелкой. Внутри барьера носитель тока находится в валентной зоне, является дыркой, которая движется с импульсом , направленным против оси x. В точке электрон аннигилирует с дыркой. При рождаются дырка и электрон, движущиеся в противоположные стороны. Учитывая падающие и отраженные волны на участках 1 и 2, и используя (8.8), получаем общие решения

,

,

,

где ; ; ; . Для нахождения параметров A, B, C и F используем непрерывность волновых функций в точках скачка потенциала. Из условия находим

, .

Рис. 8.4. Потенциальный барьер в графене

Условие дает

, .

В результате коэффициенты прохождения и отражения

, (8.23)

не зависят от характеристик барьера, он прозрачен и не создает отражения при любой энергии частицы. Плотность электрического тока согласно (8.11) на всех участках равна .

Несмотря на эффект Клейна, связанные состояния электрона образуются в потенциальной яме, возникающей в наноленте графена шириной за счет поперечных движений и перпендикулярного к плоскости графена магнитного поля.