Применения принципа Ферма

Рассмотрим теперь некоторые интересные следствия прин­ципа наименьшего времени. Первое из них — принцип обрати­мости. Мы уже нашли путь из A в В, требующий наименьшего времени; пойдем теперь в обратном направлении (считая, что скорость света не зависит от направления). Наименьшему времени отвечает та же траектория, и, следовательно, если свет распространяется по некоторому пути в одном направлении, он будет двигаться по этому пути и в обратном направлении.

Другой интересный пример! На пути света под некоторым уг­лом поставлена четырехгранная стеклянная призма с параллель­ными гранями. Свет проходит из точки А в В и, встретив на сво­ем пути призму (фиг. 26.6), отклоняется, причем длительность пути в призме уменьшается за счет изменения наклона траекто­рии, а путь в воздухе немного удлиняется. Участки траектории вне призмы оказываются параллельными друг другу, потому что углы входа и выхода из призмы одинаковы.

Третье интересное явление состоит в том, что когда мы смот­рим на заходящее солнце, то оно на самом деле находится уже ниже линии горизонта! Нам кажется, что солнце еще над гори­зонтом, а оно фактически уже зашло (фиг. 26.7). Дело здесь в следующем. Земная атмосфера вверху разрежена, а в нижних слоях более плотная. Свет распространяется в воздухе медлен­нее, чем в вакууме, и поэтому солнечные лучи достигнут какой-то точки за горизонтом быстрее, если будут двигаться не по прямой линии, а по траектории с более крутым наклоном в плотных слоях атмосферы, сокращая таким образом свой путь в этих слоях.

Еще пример того же рода — мираж, который часто на­блюдают путешественники на раскаленных солнцем дорогах. Они видят на дороге «воду», а когда подъезжают туда, то кру­гом оказывается все сухо, как в пустыне! Сущность явления в следующем. То, что мы видим в этом случае, это «отраженный» дорогой свет. На фиг. 26.8 показано, как падающий на дорогу луч света попадает к нам в глаз. Почему? Воздух сильно раска­лен над самой дорогой, а в верхних слоях холоднее. Горячий воздух, расширяясь, становится более разреженным, а потому и скорость света в нем больше, чем в холодном.

Фиг.26.6. Луч света, выходя­щий из прозрачной пластины, параллелен падающему лучу.

Фиг. 26.7. У горизонта Солнце кажется на ¹ /₂ градуса выше, чем на самом деле.

Другими словами, свет быстрее проходит в теплых слоях, чем в холодных. Поэтому свет проходит не по прямой, а идет по траектории с наименьшим временем, заворачивая для этого в теплые слои воздуха, чтобы сократить время. Таким образом, свет идет по кривой.

И еще один пример. Представим себе такую ситуацию, когда весь свет, испускаемый в точке Р, собирается обратно в другую точку Р' (фиг. 26.9). Это означает, конечно, что свет может попасть из точки Р в Р' по прямой линии. Это правильно. Но как устроить так, чтобы свет, идущий от Р к Q, тоже попал в Р '? Мы хотим собрать весь свет снова в одной точке, которую называют фокусом. Как это сделать? Поскольку свет всегда выбирает путь с наименьшим временем, то наверняка он не пойдет по другим предложенным нами путям. Единственный способ сделать целый ряд близлежащих траекторий приемлемы­ми для света — это устроить так, чтобы для всех время прохож­дения было точно одинаковым! В противном случае свет пойдет по траектории, требующей минимального времени. Поэтому задача построения фокусирующей системы сводится просто к созданию устройства, в котором свет тратит на всех путях оди­наковое время!

Такое устройство создать просто. Возьмем кусок стекла, в котором свет движется медленнее, чем в воздухе (фиг. 26.10). Проследим путь луча света, проходящего в воздухе по линии PQP'. Этот путь длиннее, чем прямо из Р в Р', и наверняка за­нимает больше времени. Но если взять кусок стекла нужной тол­щины (позже мы вычислим, какой именно), то путь в нем ском­пенсирует добавочное время, затрачиваемое при отклонении луча на траектории PQP'. При этих условиях можно устроить так, чтобы время, затрачиваемое светом на пути по прямой, совпадало со временем, затрачиваемым на пути PQP'. Точно так же, если взять частично отклоненный луч PRR'P' (более короткий, чем PQP'), то придется скомпенсировать уже не так много времени, как для прямолинейной траектории, но некото­рую долю времени все же скомпенсировать придется.

Фиг. 26.8. Мираж.

Фиг, 26.9. Оптический «черный ящик».

В резуль­тате мы приходим к форме куска стекла, изображенной на фиг. 26.10. При такой форме весь свет из точки Р попадет в Р'. Всё это нам известно уже давно, и называется такое устройство собирательной линзой. В следующей главе мы вычислим, какой должна быть форма линзы, чтобы получить идеальную фокуси­ровку.

Наконец, последний пример. Предположим, что нам нужно так поставить зеркало, чтобы свет из точки Р всегда приходил в Р' (фиг. 26.11). На любом пути свет должен отразиться от зер­кала, и время для всех путей должно быть одинаковым. В данном случае свет проходит только в воздухе, так что время прохож­дения пропорционально длине пути. Поэтому требование равен­ства времен сводится к требованию равенства полных длин пу­тей. Следовательно, сумма расстояний r1 и r₂ должна оставаться постоянной. Эллипс обладает как раз тем свойством, что сумма расстояний любой точки на его кривой от двух заданных точек постоянна; поэтому свет, отразившись от зеркала, имеющего такую форму, наверняка попадет из одного фокуса в другой.

Этот принцип фокусировки служит для наблюдения света звезд. При постройке большого 200-дюймового телескопа в об­серватории Паломар использовалась следующая идея. Вообразите себе звезду, удаленную от нас на миллиарды километров; мы хотим собрать весь испускаемый ею свет в фокус. Конечно, мы не можем начертить всю траекторию лучей до звезды, тем не менее мы должны проверить, насколько времена на различ­ных траекториях равны. Мы, конечно, знаем, что если множест­во различных лучей достигло плоскости КК ', перпендикулярной направлению лучей, то времена для всех этих лучей будут равны (фиг. 26.12). Далее лучи должны отразиться от зеркала и за равные промежутки времени попасть в фокус Р'.

Фиг. 26 10. Фокусирующая опти­ческая система.

Фиг. 26.11. Эллиптическое зеркало.

Это означает, что мы должны найти такую кривую, для которой сумма рас­стояний ХХ'-\-Х'Р' будет постоянна, независимо от выбора точки X. Легче всего это сделать, продолжив отрезок XX' до плоскости LL'. Потребуем теперь, чтобы выполнялись соот­ношения А'А"=А'Р',В'В"=В'Р', С'С"=С'Р' и т. д.; в этом случае мы получаем нужную нам кривую, потому что сумма длин А 'А+А 'Р' =АА'+А 'А'' будет постоянной для всех точек кривой. Значит, наша кривая есть геометрическое место всех точек, равноудаленных от линии и некоторой заданной точки. Такая кривая называется параболой; вот зеркало телескопа и было изготовлено именно в форме параболы.

Приведенные примеры в общих чертах иллюстрируют прин­цип устройства оптических систем. Точные кривые можно рас­считать, используя правило равенства времен на всех путях, ведущих в точку фокуса, и требуя, чтобы время прохождения на всех соседних путях было большим.

В следующей главе мы еще вернемся к фокусирующим опти­ческим системам, а теперь обсудим дальнейшее развитие теории. Когда предлагается новый физический принцип, такой, как принцип наименьшего времени, то нашей первой естественной реакцией могли бы быть слова: «Все это очень хорошо, восхити­тельно, но вопрос заключается в том, улучшает ли это вообще наше понимание физики?». На это можно ответить: «Да. Посмот­рите сколько новых фактов мы теперь поняли!» А кто-то возра­зит: «Ну, в зеркалах я и так разбираюсь. Мне нужна такая кри­вая, чтобы каждая касательная к ней плоскость образовывала равные углы с двумя лучами света. Я могу рассчитать и линзу, потому что каждый падающий на нее луч отклоняется на угол, даваемый законом Снелла». Здесь очевидным образом содержа­ние принципа наименьшего действия совпадает с законом равен­ства углов при отражении и пропорциональности синусов углов при преломлении. Тогда, может быть, это философский вопрос, а может быть, вопрос просто в том, какой путь красивее? Можно привести аргументы в пользу обеих точек зрения.

Однако критерий важности всякого принципа состоит в том, что он предсказывает нечто новое.

Легко показать, что принцип Ферма предсказывает ряд но­вых фактов. Прежде всего предположим, что имеются три среды — стекло, вода и воздух и мы наблюдаем явление прелом­ления и измеряем показатель n для перехода из одной среды в другую.

Фиг. 26.12. Параболическое зеркало.

Обозначим через n₁₂ показатель преломления для пе­рехода из воздуха (1) в воду (2), а через n₁₃— для перехода из воздуха (1) в стекло (3). Измерив преломление в системе вода— стекло, найдем еще один показатель преломления и назовем его п₂₃.Здесь заранее нет оснований считать, что n₁₂ , n₁₃ и n₂₃ связаны между собой. Если же исходить из принципа наимень­шего времени, то такую связь можно установить. Показатель n₁₂ есть отношение двух величин—скорости света в воздухе к скорости света в воде; показатель n₁₃ есть отношение скорости в воздухе к скорости в стекле, а n₂₃ есть отношение скорости в воде к скорости в стекле. Поэтому, сокращая скорость света в воздухе, получаем

(26.5)

Другими словами, мы предсказываем, что показатель преломле­ния для перехода из одного материала в другой можно получить из показателей преломления каждого материала по отношению к некоторой среде, скажем воздуху или вакууму. Таким обра­зом, измерив скорость света во всех средах, мы образуем одно число для каждой среды — показатель преломления для пере­хода из вакуума в среду — и называем его n_i (например, n_i для воздуха есть отношение скорости в воздухе к скорости в вакууме и т. д.), после чего легко написать нужную формулу. Показатель преломления для любых двух материалов i и j равен

(26.6)

Используя только закон Снелла, подобное соотношение пред­сказать невозможно. Но связь эта существует. Соотношение (26.5) известно давно и послужило сильным аргументом в поль­зу принципа наименьшего времени.

Еще одно предсказание принципа наименьшего времени со­стоит в том, что скорость света в воде при измерении должна оказаться меньше скорости света в воздухе. Это уже предсказа­ние совсем другого рода. Оно гораздо глубже, потому что носит теоретический характер и никак не связано с наблюдениями, из которых Ферма вывел принцип наименьшего времени (до сих пор мы имели дело только с углами). Как оказалось, скорость света в воде действительно меньше скорости в воздухе, и ровно настолько, чтобы получился правильный показатель преломле­ния.