Понятие о стационарном состоянии. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвел­ла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью резуль­татов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредин­гера имеет вид

(1)

где ћ = h /(2p), т— масса частицы, D—оператор Лапласа i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Y (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

Уравнение (1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (1) можно упростить, исключив зависимость Y от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний — состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U=U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что

(2)

где Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (2) в (1), получим

откуда после деления на общий множитель и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию y:

(3)

Уравнение (3) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчис­ленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями y. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собствен­ными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называют­ся собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором — о дискретном спектре.

Принцип причинности в квинтовой механике

В классической механике, согласно принципу причинности — принципу классического детерминизма, по известному состоянию системы в неко­торый момент времени (полностью определяется значениями координат и импульсов всех частиц системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно точно задать ее состояние в любой последующий момент. Следовательно, классическая физика ос­новывается на следующем понимании причинности: состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причи­на, а ее состояние в последующий момент — следствие.

С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса, поэтому и делается вывод о том, что в началь­ный момент времени состояние системы точно не определяется. Если же состояние системы не определено в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, т. е. нарушается принцип причинности.

Однако никакого нарушения принципа причинности применительно к микрообъ­ектам не наблюдается, поскольку в квантовой механике понятие состояния микрообъекта приобретает совершенно иной смысл, чем в классической механике. В кванто­вой механике состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией Y(x, у, z, t), квадрат модуля которой |Y (x, у, z, t)|² задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами х, у, z.

В свою очередь, волновая функция Y(х, у, z, t) удовлетворяет уравнению Шредингера, содержащему первую производную функции Y по времени. Это же означает, что задание функции Y₀ (для момента времени t ₀) определяет ее значение в последующие моменты. Следовательно, в квантовой механике начальное состояние Y₀ есть причина, а состояние Y в последующий момент — следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т. е. задание функции Y₀ предопределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким образом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшест­вующего состояния, как того требует принцип причинности.

Движение свободной частицы

Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенци­альная энергия частицы U (x) = const и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид

(1)

Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (1) является функция y (х) = Ае^ikx, где А = const и k = const, с собственным значением энергии

(2)

Функция представляет собой только координатную часть волновой функции Y(x, t). Поэтому зависящая от времени волновая функция

(3)

(здесь и ). Функция (3) представляет собой плоскую монохромати­ческую волну де Бройля.

Из выражения (2) следует, что зависимость энергии от импульса

оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может прини­мать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохромати­ческой волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

Частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Принцип соответствия. Квантование энергии и импульса частицы.

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к ча­стице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 1).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

(1)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х= 0 и х= 1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные усло­вия в данном случае имеют вид

(2)

В пределах «ямы» (0 £ х £ l) уравнение Шредингера (1) сведется к уравнению

или

(3)

где

(4)

Общее решение дифференциального уравнения (3):

Так как по (220.2) y (0)=0, то В =0. Тогда

(5)

Условие (220.2) y (l) =A sin kl = 0 выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

(6)

Из выражений (4) и (6) следует, что

(7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потен­циальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е_n, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Е_n частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е_n называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «по­тенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е_n, или, как говорят, частица находится в кван­товом состоянии n.

Подставив в (5) значение k из (6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде

В результате интегрирования получим А = , а собственные функции будут иметь вид

Графики собственных функций (8), соответствующие уровням энергии (7) при n = 1, 2, 3, приведены на рис. 2, а. На рис. 2, 6 изображена плотность вероят­ности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная | y_n (х)|² = y_n (х) y*_n (х) для n= 1,2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n =2 частица не может находиться в середине «ямы», в то времякакодинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (7) вытекает, что энергетический интервал между двумя сосед­ними уровнями равен

(9)

Из формул (9) и (7) следует, что при больших квантовых числах (n >>1) D E_n/E_n»2/ n <<1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последователь­ности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия, имеющего огромную роль в со­временной физике, заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных пре­дельных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и дина­мики специальной теории относительности переходят при v << с в формулы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона.