Платон

Из платоновского обоснования математики и науки можно сделать следующие

выводы. Во-первых, математика является образцом науки как таковой. Однако она уступает высшему знанию, которое Платон называет диалектикой, что по Платону есть синоним философии. Объяснение этого заключается, в частности, в том, что математика нуждается в некоторых предпосылках, которые нельзя доказать в рамках математики, и их необходимо принять в качестве истинных утверждений. Во-вторых, математика оперирует с интеллектуальными объектами, и в этом содержится основа строгости ее выводов и определенности ее понятий. В-третьих, математика имеет дело с интеллектуальными объектами разной степени строгости и логической чистоты:

арифметика – с числами, являющимися чисто интеллектуальными продуктами, геометрия

– с пространственными фигурами, промежуточными образованиями, для создания

которых приходится придавать числам как бы пространственный облик, что и является делом человеческого воображения.

Важным моментом в платоновском обосновании числа как чисто интеллектуального образования является положение о принципиальной неделимости единицы – неделимости логической, поскольку сама единица мыслится как логическое начало. Согласно Платону,наука о числах «влечет душу ввысь и заставляет рассуждать о числах самих по себе, ни в коем случае не допуская, чтобы кто-нибудь подменял их имеющими число видимыми и

осязаемыми телами. Ты ведь знаешь, что те, кто силен в этой науке, осмеют и отвергнут попытку мысленно разделить самое единицу, но если ты все-таки ее раздробишь, они снова умножат части, боясь, как бы единица не оказалась не единицей, а многими долями одного».

Единица неделима, ибо она есть единое неделимое по определению. Единица – это, собственно, не число, а «начало» чисел вообще, это единое, вносящее принцип определенности в беспредельное. Это означает, что единица – это «единое», организующее и порождающее числовой ряд. Но единое для порождения числового ряда нуждается в «партнере» – неопределенной двоице, которая у Платона выступает как «начало иного». Множество рождается из единого и «неопределенной двоицы». И само множество имеет своим логическим условием единицу: ведь если нет единого, то нет и многого, поскольку многое – это множество единиц. Как говорил Платон: «Если единое не существует, то ничего не существует».

Платон ввел в рассмотрение так называемые «математические вещи», или

«математические объекты». «Математические объекты» – это те образования, которыми оперирует не арифметика, имеющая дело с числами, а геометрия.

Аристотель.

Аристотель выделял два типа бесконечностей: актуальная бесконечность и

потенциальная бесконечность. На них можно также посмотреть как на два способа

рассмотрения понятия бесконечности. Первый подход к понятию бесконечности, по словам Аристотеля, является характерным для пифагорейцев и Платона, которые рассматривали бесконечность как сущность, а не свойство. Такой подход вызывал критику Аристотеля:

«Если бесконечное – сущность и не относится к какому-нибудь подлежащему, то “быть

бесконечным” и “бесконечность” – одно и то же, следовательно, оно неделимо, или делимо до бесконечности, а быть одному и тому же предмету многими бесконечными невозможно. Однако, если оно сущность и начало, то как часть воздуха остается воздухом, так и часть бесконечного –бесконечным. Следовательно, оно неразделимо и неделимо. Однако невозможно бесконечному существовать актуально, ведь ему необходимо быть количеством. Бесконечное, следовательно,существует по совпадению… Поэтому нелепости утверждают те, которые говорят так же, как

пифагорейцы: они одновременно делают бесконечное сущностью и делят его на части».

Аристотель, а вслед за ним и весь мир приняли за неоспоримую истину, что

применение правил дедуктивного вывода к любым истинным посылкам гарантирует получение истинных утверждений.

Евклид.

Евклид представляет собой пример человека, за которого говорят его книги, точнее,одна книга – «Начала», что пережила века, ибо о его человеческой жизни мало что известно.

Написание «Начал» означало, по существу, завершение этапа возникновения и

оформления математики как науки: был создан язык математики, выработаны основные правила проведения математических доказательств, т.е. создана логика математики. Другими словами, к III веку до н.э. было закончено построение греческой математики как науки, как интеллектуального познания.