Расчет потенциалов точек электрического поля, создаваемого трехфазной линией переменного тока

Потенциал произвольной точки 4 (рис. 5.8) будет равен сумме потенциалов, создаваемых каждым проводом и его зеркальным изображением. Примем высоту подвески всех проводов одинаковой и равной H, радиус проводов – r. Потенциал в указанной точке от провода 1 можно найти по формуле (5.4) аналогично от провода 2 от провода 3 Составляющая потенциала в точке 4 от собственного заряда отсутствует, так как заряд точки 4 t₄ = 0.

Следовательно

, (5.23)

где t₁, t₂, t₃ – заряды проводов, зависящие от их потенциалов относительно земли.

Рис. 5.8. Схема для расчета потенциала в точке 4

Рис. 5.9. Векторная диаграмма фазовых напряжений

Поместим точку 4 на поверхность провода 1. С учетом условий, изображенных на рис. 5.4 и 5.8, получим

(5.24)

Поместим точку 4 на поверхность провода 2, после чего по аналогии с формулой (5.24), т.е. имея в виду, что и так далее, найдем

(5.25)

Поместив точку 4 на поверхность провода 3, запишем

(5.26)

Обозначив , , имея ввиду, что a _кm = a _mк , сведем в одну систему уравнения (5.23), (5.24), (5.25), (5.26)

j ₁ = a _{11 t 1} +a ₁₂ t ₂ +a ₁₃ t _3;

j ₂ = a ₁₂ t ₁ +a ₂₂ t ₂ +a ₂₃ t _3; (5.27)

j ₃ = a ₁₃ t ₁ +a ₂₃ t ₂ +a ₃₃ t _3;

j ₄ = a ₁₄ t ₁ +a ₂₄ t ₂ +a ₃₄ t ₃ .

Неизвестны величины t₁, t₂, t₃, j₄, их значения можно рассчитать решением системы (5.27). Для упрощения решения задачи примем, что провода влияющей линии 1, 2, 3 располагаются так, что расстояния между ними одинаковы или почти одинаковы, поэтому вместо a₁₂, a₂₃, a₁₃ примем их среднее значение, то есть [1]

. (5.28)

Так как высота подвески проводов принимается одинаковой, то
a₁₁ = a₂₂ = a₃₃. Потенциал проводов j – это напряжение этих проводов относительно земли, значит , , , здесь – фазовое напряжение каждого провода. С учетом вышеизложенного перепишем систему (5.27)

;

; (5.29)

;

.

Коэффициенты a в последнем уравнении системы не могут быть одинаковыми, так как точка 4 может находиться в любом месте.

Для определения U₄ необходимо решить систему первых трех уравнений из системы (5.29)

;

; (5.30)

и получить величины t₁, t₂, t₃, затем значения этих величин подставить в четвертое уравнение системы (5.29). Систему уравнений (5.30) решим методом Крамера [8]. Согласно этому методу

t ₁ = , t ₂ = , t ₃ = , (5.31)

в формулах (5.31) – определитель системы (5.30), который равен

(5.32)

Чтобы найти определитель t ₁, надо в определителе, представленном в (5.32), заменить первый столбец коэффициентов значениями , , , т.е.

(5.33)

Для упрощения решения задачи примем, что фазовые напряжения симметричны, т.е. ; поэтому

(5.34)

Для нахождения определителя необходимо второй столбец коэффициентов в определителе (5.32) заменить величинами после чего докажем, что

, (5.35)

аналогично

Подставляя значения t₁, t₂, t₃ из формул (5.31) в последнее уравнение системы (5.29), получим с учетом формул (5.32), (5.33), (5.34), (5.35)

Окончательно определим

(5.36)

Рассмотрим применение полученной формулы для конкретной схемы расположения проводов трехфазной ЛЭП. В дальнейшем нас будут интересовать проблемы экологического влияния линий высокого и сверхвысокого напряжения на окружающую среду, поэтому в качестве расчетной схемы примем такую, в которой провода располагаются, как в подобного рода ЛЭП, то есть в одной горизонтальной плоскости (рис. 5.8).

Расположим систему координат так, чтобы отсчет начинался на поверхности земли под проводом 2. Расстояние между фазами – Д; высота подвески проводов – H; x, y – текущие координаты произвольной точки 4. Систему фазовых симметричных напряжений расположим на комплексной плоскости, как показано на рис. 5.9.

; ;

Согласно расчетной схеме на рис. 5.8,

Величину q опускаем, так как она входит во все коэффициенты a формулы (5.36) и сокращается. Аналогично получаем

С учетом вышеизложенного, формула (5.36) получит вид

(5.37)

где ; определяется по формуле (5.28), а ее составляющие

, . (5.38)

Формула (5.37) позволяет найти потенциал изолированного провода, находящегося в заданной точке с координатами x, y.