Теплофизическая модель

Рассмотренные процессы температурного изменения веса нагреваемого и охлаждаемого стержня можно описать на основе простой теплофизической модели. Представим формулу (14) в виде

, (17)

где - температурный коэффициент, зависящий от физических характеристик материала тела. Если плотность и температура в объеме тела неоднородны и изменяются во времени, зависимость веса тела принимает вид

, (18)

где интеграл вычисляется по всему объему тела.

Изменение во времени кажущейся массы нагреваемого и охлаждаемого стержня математически выражается известными решениями уравнений теплопроводности [38,39]. Нагревание металлического стержня, к торцу которого присоединен пьезокерамический преобразователь, в значительной степени происходит вследствие передачи тепла от нагретого преобразователя к стержню. Для расчета зависимости температуры длинного тонкого стержня от координаты и времени, в первом, сравнительно грубом, приближении, положим температуру одного конца стержня постоянной, и температуру окружающей среды равной . При этом функция имеет вид

, (19)

где - радиус стержня, - коэффициент теплообмена на боковой поверхности стержня, - коэффициент теплопроводности, - коэффициент температуропроводности. Расчетные зависимости при разных длительностях нагрева стержня показаны на Рис. 9.

Рис. 9 Распределение температуры по длине стержня для трех значений времен нагревания

Здесь численные значения параметров, входящих в (19), в системе единиц СИ положим равными: .

Изменение кажущейся массы стержня длиной >> в одномерном приближении, полагая , описывается формулой

, (20)

где .

Расчет временной зависимости массы нагреваемого металлического стержня приведен на Рис. 10; здесь ; величину температурного коэффициента в данных (приближенных) оценках положим равной .

Рис. 10. Расчетная временная зависимость кажущейся массы нагреваемого стержня

Сравнивая теоретическую зависимость с экспериментальными (Рис. 5 и Рис. 8) в период нагревания стержня, видно, что в начале нагрева экспериментальная и расчетная зависимости заметно различаются. Это объясняется тем, что температура нагревателя на самом деле не была постоянной (как принято в расчете), а при включении источника тепла возрастала. Тем не менее, общая тенденция монотонного уменьшения кажущейся массы стержня при его нагревании очевидна.

Для расчета изменения веса остывающего стержня воспользуемся также одномерным решением задачи о температуре стержня с теплоизолированными концами, постоянным теплообменом на поверхности и заданным начальным распределением температуры по длине стержня,

, (21)

где - удельная теплоемкость материала стержня.

Полагая в (21) , где - время нагрева стержня, и подставляя это выражение в (20), рассчитаем временную зависимость кажущейся массы остывающего стержня. Результаты этих вычислений при разных значениях коэффициента теплообмена приведены на Рис. 11 и Рис. 12.

Рис. 11. Расчетная временная зависимость кажущейся массы остывающего стержня с открытой боковой поверхностью

Рис. 12. Расчетная временная зависимость кажущейся массы остывающего стержня, помещенного в теплоизолятор

На Рис. 11 характерно наличие минимума на временной зависимости кажущейся массы стержня, что и наблюдается в эксперименте при взвешивании стержня с открытой боковой поверхностью (Рис. 5). Если теплообмен на поверхности стержня незначителен, что соответствует измерениям веса стержня, помещенного в сосуд Дьюара, кривая изменения веса стержня принимает монотонный характер на достаточно большом отрезке времени. Это также качественно согласуется с экспериментальными результатами (Рис. 8). Количественное соответствие расчетных и экспериментальных данных может быть достигнуто при более полном описании режимов нагревания и остывания стержней, в том числе с учетом теплообмена на торцах стержня, трехмерного распределения температуры в объеме стержня и с учетом влияния тепловыделения в объеме стержня при поглощении ультразвука.

Итак, простая одномерная модель температурного изменения кажущейся массы стержня удовлетворительно описывает результаты экспериментов. Это подтверждает справедливость физических положений, на которых основана температурная зависимость веса тел.