Тема 5. Колебательное движение материальной точки

I: 161.

S: На двух одинаковых лёгких спиральных пружинках подвешены две гири, отношение масс которых m ₁/ m ₂ = 4. Гири получили толчки в вертикальном направлении и колеблются с одинаковыми амплитудами. Как относится: а) периоды их колебаний Т ₁/ Т ₂ ? б) энергии колебаний Е ₁/ Е ₂ ? Т ₁/ Т ₂ = …; Е ₁/ Е ₂ = …

+: 2*1.

I: 162.

S: Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

3ּ d ² x/dt ² + 12ּ dx/dt + c ּ x = 0.

Определить максимальное значение коэффициента жёсткости С пружины, при котором движение будет апериодическим; с = …

Отметьте правильный ответ.

+: 12

I: 163.

S: Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки дано в виде

d ² x/dt ² + 50ּ x = 25ּ sin (5 ּt).

Определить амплитуду А _вынужд вынужденных колебаний; А _вынужд = …

+: 1

I: 164.

S: Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

d ² x/dt ² + 2ּ dx/dt + 100ּ x = 15ּ sin 8 ּt.

(Расстояние в метрах.) Определить амплитуду вынужденных колебаний А _вынужд;(результат вычисления округлить с точностью до первого знака после запятой);

А _вынужд = ….

+: 0,4

I: 165.

S: Тело массой m = 2 кг движется прямолинейно по закону x = 10ּ sin (2 ּt) (м) под действием силы F. Определить наибольшее значение этой силы;

| F | = …(H).

+: 80

I: 166.

S: Тело, подвешенное к пружине с коэффициентом жёсткости с = 800 Н/м, совершает свободные вертикальные колебания с амплитудой 0,2 м. Колебания начались из положения статического равновесия с начальной скоростью 4 м/с. Определить массу m тела (результат вычисления округлить до целого числа);

m = … (кг).

+: 2

I: 167.

S: Груз массой m = 3 кг подвешен к пружине с коэффициентом жёсткости с = 300 Н/м и находится в свободном вертикальном колебательном движении. В начальный момент времени его скорость v ₀ = 2 м/с, а смещение от положения статического равновесия х ₀ = 0,15 м. Определить амплитуду А колебаний груза (результат вычисления округлить до второго знака после запятой включительно). А = … (м).

+: 0,25

I: 168.

S: Материальная точка с массой 0,2 кг совершает колебания по закону

s = 0,08 · (20 ·π·t + π /4) (м). Найти полную энергию Е (сумму кинетической и потенциальной энергий) матер. точки. Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно. Е = … (Дж).

+: 2,5

I: 169.

S: Маятниковые часы идут на поверхности Земли точно. На сколько |Δ t | (сек.) они отстанут за одни сутки, если их поднять на сотый этаж высотного дома? Высота этажа 3 м. Радиус Земли принять равным R. = 6400 км. Результат вычисления округлить до целого числа. |Δ t | = … (сек).

+: 4.

I: 170.

S: Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

m ּ d ² x/dt ² + 4ּ dx/dt + 2ּ x = 0.

Определить максимальное значение массы m _max точки, при котором движение будет апериодическим: m _max = …

+: 2

I: 171.

S: Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

d ² x/dt ² + 5ּ dx/dt + 5ּ x = 0.

Определить, каким будет движение: равномерным, равноускоренным, колебательным или апериодическим.

Отметьте правильный ответ.

-: Равномерное; -: Равноускоренное; -: Колебательное; +: Апериодическое

I: 172.

S: Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

d ² x/dt ² + 2ּ dx/dt + 2ּ x = 0.

Определить, каким будет движение: равномерным, равноускоренным, колебательным или апериодическим.

Отметьте правильный ответ.

-: Равномерное; -: Равноускоренное; +: Колебательное; -: Апериодическое

I: 173.

S: Груз массой m = 2 кг подвешен к пружине, коэффициентом жёсткости которой

С = 30 Н/м, и выведен из состояния равновесия. Сила сопротивления движению

R = - 0,4 ּv (Н). Определить, каким будет движение: равномерным, колебательным или апериодическим.

Отметьте правильный ответ.

-: Равномерное; +: Колебательное; -: Апериодическое.

I: 174.

S: Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

5ּ d ² x/dt ² + 20ּ dx/dt + c ּ x = 0.

Определить наибольшее значение коэффициента жёсткости с пружины, при котором движение будет апериодическим; c = …

+: 20.

I: 175.

S: Груз массой m = 0,4 кг подвешен к пружине и совершает свободные колебания с амплитудой 0,4 м. Колебания начались из положения статического равновесия с начальной скоростью 3 м/с.

Определить коэффициент жёсткости пружины (результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно); c = … (Н/м).

+: 22,5

I: 176.

S: Коэффициент жёсткости пружин С ₁ = С ₂ = С ₃ = 300 Н/м, масса груза m = 2 кг.

Определить циклическую частоту ω собственных вертикальных колебаний груза;

ω = … (1/сек)

+: 10

I: 177.

S: Какое уравнение описывает указанный процесс?

Отметьте правильный ответ.

-: d ² x/dt ² + k ² ּx = sin pּt

+: d ² x/dt ² + 2ּnּdx/dt + k ² ּx = 0

-: d ² x/dt ² + k ² ּx = sin kּt

-: d ² x/dt ² + 2ּnּdx/dt + k ² ּx = b

I: 178.

S: Какое уравнение описывает указанный процесс?

Отметьте правильный ответ.

-: d ² x/dt ² + k ² ּx = 0, -: d ² x/dt ² + k ²ּ x = b,

-: d ² x/dt ² + k ² ּx = sin kּt, +: d ² x/dt ² + 2ּnּdx/dt + k ² ּx = 0.

I: 179.

S: Какое уравнение описывает указанный процесс?

Отметьте правильный ответ.

-: d²x/dt² + k ²ּx = 0

-: d ² x/dt ² + k ² ּx = b

-: d ² x/dt ² + k ² ּx = sin kּt

+: d ² x/dt ² + 2ּnּdx/dt + k ² ּx = 0

I: 180.

S: Какое уравнение описывает указанный процесс?

Отметьте правильный ответ.

-: d²x/dt² + k ²ּx = 0

-: d ² x/dt ² + k ² ּx = b

-: d ² x/dt ² + k ² ּx = sin (pּt),

+: d ² x/dt ² + k ² ּx = sin (kּt).

I: 181.

S: К пружине жёсткости k, один конец которой закреплён, подвешен груз веса Р, лежащий на подставке так, что пружина не растянута (см. рис.). Без толчка подставка убирается. Найти закон движения груза x (t).

Отметьте правильный ответ.

-: x (t) = ּ cos ( ּ t) + ּ sin ( ּ t)

-: x (t) = ּ cos ( ּ t)

+: x (t) = ּ[1 – cos ( ּ t)]

-: x (t) = ּ[1 + sin ( ּ t)]

I: 182.

S: Длина маятника Фуко в Исаакиевском соборе в Петербурге 98 м. Определить период колебаний Т маятника (g = 9,8 м/с²). Результат вычисления округлить до ближайшего целого числа. Т = … (сек)

+: 20

I: 183.

S: Маятник представляет собой шарнирно соединённую со штативом лёгкую жёсткую спицу с закреплёнными на ней двумя небольшими по размерам грузами массы m каждый (см. рис.). Расстояния между точкой крепления О и верхним грузом и между грузами равны l. Период колебаний имеет вид:

Т = 2 ּπּQּ

(g – ускорение свободного падения). Определить Q. (Результат вычисления округлить до второго знака после запятой включительно.) Q = …

+: 1,29

I: 184.

S: Определить период Т малых свободных колебаний в вертикальной плоскости маятника, представляющего собой шарнирно соединённый со штативом тонкий однородный стержень массы m длины l.

Искомый период колебаний имеет вид:

Т = 2 ּπּQּ

(g – ускорение свободного падения; момент инерции стержня ОА относительно шарнира О: J _О = (1/3) ·m·l ² ). Определить Q. (Результат вычисления округлить до второго знака после запятой включительно.) Q = …

+: 0,82

I: 185.

S: Тело массы m = 0,5 кг совершает колебания на пружине так, что наибольшее значение скорости v _макс = 100 см/сек, наибольшее отклонение от положения равновесия x _макс = 5 см Определить коэффициент жёсткости c пружины,

с = … (Н/м).

+: 200

I: 186.

S: Через неподвижный блок с массой m ₁ = 260 г перекинута нить, к концу которой подвешен груз массы m ₂ = 330 г. Другой конец нити привязан к пружинке с закреплённым нижним концом (см. рис.). Коэффициент жёсткости пружины c = 500 (Н/м). Вычислить период колебаний груза. Нить не может скользить по поверхности блока; блок однородный цилиндр; трение в оси блока отсутствует. (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно.)

Т = … (сек.).

+: 0,2

I: 187.

S: Груз М поместили без начальной скорости к середине неизогнутой балки жёсткости с = 400 Н/см. Балка совершает поперечные колебания с амплитудой A = 3 см. Определить период колебаний балки (g = 9,81 м/с²). (Результат вычисления округлить до второго знака после запятой включительно.) Т = … (сек).

+: 0,35

I: 188.

S: Тело массы m, подвешенное па пружине жёсткости с, находится в состоянии статического равновесия в среде с сопротивлением. Сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости, | F _сопр| = bּv. Коэффициент сопротивления b равняется 0,5ּ . Тело отклонили от положения равновесия на расстояние на расстояние x ₀ (x ₀ > 0) и отпустили без начальной скорости.

Определить закон движения тела.

Отметьте правильный ответ.

-: 1); -: 2); -: 3); -: 4); +: 5)

I: 189.

S: Тело массы m, подвешенное на пружине жёсткости с, находится в состоянии статического равновесия в среде с сопротивлением. Сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости, | F _сопр| = bּv.

Коэффициент сопротивления b равняется b = 2ּ .

Тело отклонили от положения равновесия на расстояние x ₀ (x ₀ > 0) и отпустили без начальной скорости.

Определить закон движения тела.

Отметьте правильный ответ.

-: 1); +: 2); -: 3); -: 4); -: 5)

I: 190.

S: Груз В весом Р = 200 Н положен без начальной скорости на невесомую плиту, прикреплённую к вертикальной пружине. После этого груз стал совершать гармонические колебания с амплитудой A = 5 см. Определить период малых колебаний груза (g = 9,81 м/с²). (Результат вычисления округлить до второго знака после запятой включительно.)

Т = … (сек.).

+: 0,45

I: 191.

S: Груз массы m = 1 кг подвешен на пружине, с коэффициентом жёсткости с = 625 Н/м. На груз действует вынуждающая сила F _вынужд = 5ּ cos (ωt) + 2ּcos (5 ωt) (Н). Определить, при каких значениях ω ₁ и ω ₂ наступит резонанс (ω ₁ > ω ₂).

1) ω ₁ = … (рад/сек), 2) ω ₂ = … (рад/сек).

+: 25*5

I: 192.

S: Тело массы m, подвешенное на пружине жёсткости с, находится в состоянии статического равновесия в среде с сопротивлением. Сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости, | F _сопр| = bּv. Коэффициент сопротивления b равняется b = 2ּ .

Тело отклонили от положения равновесия на расстояние x ₀ (x ₀ > 0) и сообщили ему начальную скорость, направленную в сторону первоначального отклонения ( ₀ > 0). Определить закон движения тела.

Отметьте правильный ответ.

+: 1); -: 2); -: 3); -: 4); -: 5)

I: 193.

S: Тело массы m = 0,25 кг, подвешенное на пружине жёсткости с = 144 Н/м, находится в состоянии статического равновесия в среде с сопротивлением. Сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости, | F _сопр| = bּv. Коэффициент сопротивления b равняется b = 12 (Нּс/м).

Тело отклонили от положения равновесия на расстояние x ₀ = 0,2 м и сообщили ему начальную скорость, направленную в противоположную сторону, ₀ = – 2 м/с. Определить закон движения тела.

Отметьте правильный ответ.

-: 1); -: 2); +: 3); -: 4); -: 5)

I: 194.

S: Тело массы m = 0,25 кг, подвешенное на пружине жёсткости с = 144 Н/м, находится в состоянии статического равновесия в среде с сопротивлением. Сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости, | F _сопр| = bּv. Коэффициент сопротивления равняется b = 12 (Нּс/м).

Тело отклонили от положения равновесия на расстояние x ₀ = 0,1 м и сообщили ему начальную скорость, направленную в противоположную сторону, ₀ = – 3 м/с. Определить закон движения тела.

Отметьте правильный ответ.

-: 1); -: 2); -: 3); +: 4); -: 5)

I: 195.

S: Два одинаковых груза массы m связаны пружиной (см. рис.). Частота колебаний оказалась равной ω ₁. Затем один их грузов закрепили; частота собственных колебаний оказалась равной ω ₂. Определить отношение ω ₁/ ω ₂. (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно.) ω ₁/ ω ₂ = …

+: 1,4

I: 196.

S: Период колебаний маятника, точка подвеса которого покоится относительно земной поверхности, равен Т ₀ =1,50 сек. Каков будет его период колебаний Т ₁, если поместить маятник а вагон, движущийся горизонтально с ускорением а = 4,9 м/с²? Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с². Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно. Т ₁ = … (сек.).

+: 1,4.

I: 197.

S: Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Земли в 3,7 раза больше радиуса Луны. Во сколько раз период колебаний маятника возрастёт при перенесении его с Земли на Луну? (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно.) τ ₂/ τ ₁ = …

+: 2,4

I: 198

S: При какой скорости поезда маятник длиной l = 11 см, подвешенный в вагоне, особенно сильно раскачивается, если длина рельсов 12,5 м? Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с²). (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно.) v = … (м/сек.).

+: 18,8

I: 199.

S: Один из маятников за некоторое время совершил n ₁ = 15 колебаний. Другой за то же время совершил n ₂ = 14 колебаний. Разность длин маятников Δ l = 2,9 см. Найти длину l ₁ первого маятника. (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно.) l ₁ = … (см).

+: 19,6

I: 200.

S: Груз, подвешенный к пружине, вызвал удлинение её на Δ l = 4 см. Определить период Т собственных колебаний пружинного маятника. (g = 9,8 м/с²) (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно.) Т = … (сек.)

+: 0,4

Тема 6. Теорема о движении центра масс. Количество движения и кинетический момент механической системы. Теорема об изменении количества движения. Теорема об изменении кинетического момента.

I: 201.

S: Человек массы m = 60 кг переходит с носа на корму лодки. На какое расстояние по величине | s |переместится лодка длины l = 3 м, если её масса M = 120 кг?

| s | = … (м).

+: 1.

I: 202.

S: Колесо радиуса R = 0,5 м и массы m = 10 кг катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием приложенного к нему вращательного момента M = 6 Нּм. Определить ускорение a _C центра масс C колеса, если коэффициент трения скольжения равен f = 0,1. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с². a _C = …

+: 1

I: 203.

S: Колесо радиуса R = 0,5 м и массы m = 10 кг скатывается с наклонной плоскости вниз. Его центр масс C движется по закону x _C = t ² (м). Определить модуль главного вектора внешних сил | F^(e) |, действующих на колесо; | F^(e) | = … (Н).

+: 20

I: 204.

S: Тело массы m = 40 г, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v ₀ = 30 м/с, достигло высшей тоски спустя время t = 2,5 сек. Найти среднюю силу сопротивления F _сопр. воздуха, действовавшую на тело во время движения. (Результат вычисления округлить до третьего знака после запятой включительно.) (g = 9,81 м/с²) F _сопр. = … (Н)

+: 0,088

I: 205.

S: Тело 1 массой m = 50 кг поднимается по наклонной плоскости с помощью троса, намотанного на барабан 2 радиуса R = 0,4 м. Угловое ускорение барабана ε = 5 рад/с². Определить модуль вектора всех внешних сил вектора внешних сил | F ^(e) |, действующих на тело;

| F ^(e) | = … (Н).

+: 100

I: 206.

S: Шкив 1 массы М = 20 кг и радиуса R = 0,4 м, вращаясь с угловой скоростью ω = 2,5 рад/с, поднимает груз 2 массы m = 10 кг. Определить модуль количества движения | Q | механизма; | Q | = … (кгּм/с).

+: 10

I: 207.

S: Мяч массы m = 150 г ударяется о гладкую стенку под углом α = 30^о к ней и отскакивает без потери скорости. Найти среднюю силу F, действующую на мяч со стороны стенки, если скорость мяча v ₀ = 10 м/с, а продолжительность удара Δ t = 0,1 сек. F = … (Н).

+: 15

I: 208.

S: Масса каждого из тёх звеньев шарнирного параллелограмма ОАВС (ОА, АВ, СВ) равна 3 кг. Длина кривошипа ОА равна 0,6 м. Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью ω = 5 рад/с.

Определить модуль количества движения | Q | механизма; | Q | = … (кгּм/с).

+: 18

I: 209.

S: Цилиндр 1 вращается с угловой скоростью ω = 20 рад/с. Его момент инерции относительно оси вращения Ј = 2 кгּм², радиус r = 0,5 м. Груз 2 имеет массу m ₂ = 1 кг.

Определить модуль количества движения | Q | механизма; | Q | = … (кгּм/с).

+: 10

I: 210.

S: В кривошипно-шатунном механизме ОАВ, расположенном в горизонтальной плоскости, кривошип ОА и шатун АВ имеют каждый массу m = 3 кг, а ползун В имеет массу m /2 = 1,5 кг. Длина кривошипа OA l = 0,6 м, длина шатуна AB 2ּ l = 1,2 м. Угловая скорость кривошипа равна ω = 5 рад/с.

Определить модуль количества движения | Q | механизма в тот момент, когда угол α = π /2;

| Q | = … (кгּм/с).

+: 18