Преобразования Лоренца

Допустим, что один из законов физики, полученный относительно системы отсчета S, имеет вид

f (x, y, z, t...)= 0,

а относительно системы отсчета S ' имеет вид

. f' (x', y', z', t'...)= 0

Согласно принципу относительности, функции f и f ' должны иметь одинаковый вид. Это возможно, если между результатами измерения физических величин относительно S и S ' существуют определенные соотношения. А. Эйнштейн показал, что из двух принципов его теории следует, что координаты движущихся тел и время, измеренные отно­сительно S и S ', связаны между собой преобразованиями Лоренца.

Действительно, возьмем две координатные системы: нештрихованную XYZ (условно неподвижную) и штрихованную X 'Y ' Z' (условно подвижную, рис.), находящиеся в относительном движении. Оси обеих систем возьмем параллельными, постоянную относительную скорость υ системы X 'Y 'Z' относительно системы XYZ направим вдоль оси ОХ и предположим, что в исходный момент времени (t= 0; t' =0) начала координат обеих систем совпадают.

При этих условиях легко показать, что координаты у и г преобразуются очевидным соотношением:

у'=у; z’ = z,

и мы ими заниматься не будем. Рассмотрим, как преобра­зуются координата x: и время t. Возьмем точку, соответ­ствующую началу координат подвижной системы; ее коор­дината х', очевидно, равна нулю:

x’= 0 (1)

Координата х этой же точки (в неподвижной системе) в момент времени t (отсчитанный в неподвижной системе) равна:

x=υt

Это равенство перепишем в виде:

x - υt = 0 (2)

Сопоставляя равенства (1) и (2), замечаем, что в одной и той же точке пространства обращаются в нуль величины х’ (в штрихованной системе) и x - υt (в нештрихованной), по­этому естественно предположить, что х' и x - υt для любых моментов времени отличаются друг от друга лишь постоян­ным множителем а:

x’ = а(x - υt) (3)

Теперь рассмотрим точку, соответствующую началу коор­динат неподвижной системы; ее координата х в этой системе равна нулю:

x = 0 (4)

В подвижной системе эта же точка в момент времени t’ (отсчитанный в подвижной системе) имеет координату x’, равную:

x’= - υt

откуда для этой точки имеет место равенство:

x’ + υt’ = 0

Сопоставляя последнее равенство с равенством (4), характери­зующим ту же точку в другой системе, положим, как и выше:

х =a (x’ + υt’). (5)

То, что коэффициенты пропорциональности а формул (3) и (5) должны быть одинаковыми, легко показать, основываясь на опытном положении об эквивалентности обеих систем, т. е. на невозможности установить, какая из систем нахо­дится в абсолютном движении.

Для нахождения закона преобразования надо определить коэффициент а. Используем для этого опытный факт, согласно которому скорость светового сигнала, измеренная в обеих системах, даст одно и то же значение с. Пустим световой сигнал в момент совпадения обоих начал координат (этот момент в обеих системах будем считать начальным: t = t’ = 0) в направлении оси ОХ (О'Х'}. В произвольные моменты t(t’) сигналы в обеих системах будут доходить до точек, коор­динаты которых определятся соответственно равенствами:

x=ct; x’=ct’ (6)

Перемножим уравнения (3) и (5) и подставим в получен­ный результат вместо х и х' их значения по (6); после сокра­щения найдем:

c ²= a ²(c ² – υ ²);

для а возьмем положительное значение корня этого уравнения:

Найденное значение а позволяет написать преобразование координат в виде:

;

Отсюда легко найти и преобразование времени. Из второго равенства получаем:

Подставляя х' из первого соотношения, найдем:

Решая это равенство относительно t’, получим:

Аналогичным приемом получим для t:

Объединяя все полученные соотношения, напишем выражение координат и времени в подвижной системе через координаты и время в неподвижной:

y’=y; z’=z; (7)

и выражение координат и времени в неподвижной системе через координаты и время в подвижной:

y=y’; z=z’ (8)

Формулы (7) и (8) выражают преобразование координат и времени при переходе от одной системы отсчета к другой. Преобразования такого вида называются преобразованиями Лоренца. Преобразования Лоренца (7) и (8) переходят в преобра­зования Галилея при стремлении к нулю отношения β = υ/c. Заметим, что штрихованная и нештрихованная системы экви­валентны и преобразование (7) получается из преобразова­ния (8) заменой знака относительной скорости. Преобра­зования Лоренца выведены из опытных положений. Теория относительности обобщает этот вывод и считает, что всякий физический закон должен удовлетворять преобразованием Лоренца. Это означает, что закон природы, выраженный математически в координатах одной системы, должен сохра­нять свой вид при переходе к координатам другой системы по формулам (7) или (8), т. е. должен быть инвариан­тен по отношению к преобразованию Лоренца. Уравнения механики Ньютона, будучи инвариантными по отношению к преобразованию Галилея, не инвариантны по отношению к преобразованию Лоренца. Развитие идей теории относи­тельности привело к изменению уравнений Ньютона в том смысле, что были установлены уравнения механики, инва­риантные по отношению к преобразованию Лоренца и перехо­дящие в уравнения Ньютона в предельном случае бесконечно малого отношения β = υ/c. Проверка следствий новых урав­нений механики на опыте показала правильность этих новых уравнений. Что же касается уравнений электродинамики (ура­внений Максвелла), то они оказались инвариантными относи­тельно преобразований Лоренца. Таким образом, выяснилось, что законы классической физики в области электромагне­тизма удовлетворяют требованиям теории относительности, а в области механики (ньютоновской) справедливы лишь для скоростей υ «c и в общем случае требуют изменений. Обратим внимание на то, что для скоростей υ > с преобразования Лоренца теряют смысл. Это соответствует тому, что тела не могут двигаться со скоростями, превышающими скорость света.