Оператор квадрата момента импульса

Собственные значения и собственные функции операторов

квантовой механики.

Для каждого оператора можно найти функции, которые являются его собственными функциями, т. е. удовлетворяют требованию

(1)

Это главный постулат квантовой механики.

где - действительное число для ирмитовых операторов и называется собственным значением оператора , принадлежащим собственной функции .

В классической механике:

Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора энергии будет

где Е - собственное значение оператора энергии; - собственная функция.

В явном виде.

Интегрируя это уравнение в частных производных второго порядка и выбирая те решения, которые удовлетворяют стандартным условиям, получают совокупность собственных функций оператора энергии .

Средние значения физических величин.

В классической механике каждая динамическая величина имеет определённое значение.

В квантовой механике дело обстоит иначе. Например, система находится в состоянии, которое является результатом суперпозиции состояний с собственными значениями .

Если система находится либо в состоянии , либо в состоянии , то соответствующее измерение даст определенное число или соответственно. Какое значение будет получатся, когда система находится в состоянии

Здесь в классической физике получилось бы одно строго определённое число.

В квантовой механике получается не одно определённое число, а одно из двух чисел: или , или и никаких других. То или другое значение получается не с достоверностью, а лишь с определённой вероятностью. В квантовой механике нельзя приписать динамической переменной определённого значения, но всегда можно приписать определённую вероятность.

А если известны вероятности, то можно вычислить среднее значение.

Среднее значение координаты х.

Если волновая функция нормирована к единице, то

Учитывая, что оператор координаты “ ”есть просто умножение на х: