Электрическое поле заряженного шара

Рассмотрим заряженное тело с зарядом q в форме шара радиусом R, расположенное в диэлектрической среде с относительной диэлектрической проницаемостью ε₂ для двух случаев:

1. заряд равномерно распределен по объему с плотностью ρ (Кл/м³),

2. заряд находится только на поверхности тела.

К первому случаю может относиться только диэлектрический шар с относительной диэлектрической проницаемостью ε₁. Ко второму случаю относятся заряженные металлические сплошные и полые шары.

Надо отдельно рассматривать электрическое поле внутри заряженного тела и снаружи. При этом мы исходим из центральной симметрии этой задачи. Мы предполагаем, что величина вектора D зависит только от расстояния r от центра сферического тела, а его направление всегда совпадает с радиусом сферы. Для решения задачи с помощью теоремы Гаусса выбираем сферическую форму поверхности с радиусом r и центром, совпадающим с центром шара.

Если r < R, то заряд внутри поверхности с радиусом r составит

для равномерно заряженного шара и q_r=0 для шара с поверхностным зарядом.

Запишем выражение для теоремы Гаусса для равномерно заряженного шара, учитывая, что поток вектора D будет равен произведению D на площадь сферической поверхности радиусом .

(9)

Для равномерно заряженного шара для величины вектора D и Е при справедливо

, (10)

.

Для определения изменений потенциала мы можем воспользоваться выражением (6). Пользуясь тем, что интеграл в этом выражении не зависит от выбранного пути интегрировании, и, приняв потенциал в центре сферы за 0, для изменений потенциала получим

При получим

. (11)

Тогда при

. (12)

Выражения (10) и (12) для r=R дают одно и тоже значение D. Однако зависимость Е(r) в точке r=R имеет скачкообразное изменение (разрыв).

Для шара с заряженной поверхностью при справедливо

и .

При будут справедливы выражения (12).

Рис.3