Часть 1. Основные уравнения и формулы

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ФМД

Домашние задачи по квантовой физике

Составила Чемезова К.С.

Часть 1. Основные уравнения и формулы

Длина волны де Бройля где h –постоянная Планка, p – импульс частицы	,
Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса гдеΔx –неопределенность координаты частицы, Δpx -неопределенность проекции импульса частицы на соответствующую координатную ось	Δx·Δpx ,
Соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии и времени гдеΔE –неопределенность энергии частицы в некотором состоянии, Δt -время нахождения частицы в этом состоянии	ΔE·Δt ,
Вероятность обнаружения частицы в элементе объема пространства dV где Ψ –волновая функция частицы	dW=|Ψ|2dV,
Условие нормировки волновой функции
Волновая функция, описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме где l – ширина ямы, x – координата частицы в яме (0 < x < l), n– квантовое число (n=1,2,3…).
Энергия частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме где m –масса частицы	,
Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера
Коэффициент прозрачности потенциального барьера произвольной формы
Волновая функция, описывающая 1s-состояние электрона в атоме водорода, где С – нормировочный множитель	,

1. Определить импульс и энергию: а) рентгеновского фотона; б) электрона, если длина волны того и другого равна 10^{-10 м.}

2. Определить длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.

3. Определить длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при T=290 К.

4. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией B=15 мТл по окружности радиусом R=1,4 м. Определить длину волны де Бройля для протона.

5. Определить, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля l для него была равна 1 нм.

6. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U=500 В, имеет длину волны де Бройля l=1,282 пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определить ее массу.

7. Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определить длину волны де Бройля.

8. Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. Определить длину волны де Бройля.

9. Определить, при каком числовом значении скорости длина волны де Бройля для электрона равна его комптоновской длине волны.

10. Определить, при каком числовом значении кинетической энергии Т, длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской длине волны.

11. Определить, как изменится длина волны де Бройля электрона атома водорода при переходе его с четвертой боровской орбиты на вторую.

12. В опыте Дэвиссона и Джермера, обнаруживших дифракционную картину при отражении пучка электронов от естественной дифракционной решетки - монокристалла никеля, оказалось, что в направлении, составляющем угол a=55° с направлением падающих электронов, наблюдается максимум отражения четвертого порядка, при кинетической энергии электронов Т=180 эВ. Определить расстояние между кристаллографическими плоскостями никеля. (Подсказка: воспользоваться формулой Вульфа-Брэггов)

13. Моноэнергетический пучок нейтронов, получаемый в результате ядерной реакции, падает на кристалл с периодом d=0,15 мм. Определить, скорость нейтронов, если брэгговское отражение первого порядка наблюдается, когда угол скольжения V=30 °.(Подсказка: воспользоваться формулой Вульфа-Брэггов)

14. Параллельный пучок моноэнергетических электронов направлен нормально на узкую щель шириной а=1 мкм. Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем на расстоянии l =20 см от щели, ширина центрального дифракционного максимума составляет Dx=48 мкм.

15. Определить отношение неопределенностей скорости электрона, если его координата установлена с точностью до 10^{-5 м, и пылинки массой} m=10^{-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.}

16. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10% от ее числового значения, определить неопределенность координаты электрона. Применимо ли для электрона в данном случае понятие траектории?

17. Воспользовавшись соотношением неопределенностей, оценить размытость энергетического уровня в атоме водорода: 1) для основного состояния; 2) для возбужденного состояния (время жизни атома принять равным 10^-8 с).

18. Длина волны l излучаемого атомом фотона при переходе электрона из возбужденного состояния в основное составляет 0,6 мкм. Принимая время жизни атома в возбужденном состоянии Dt=10^-8 с, определить отношение естественной ширины энергетического уровня к энергии, полученной атомом.

19. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм, определить (в электрон-вольтах) неопределенность энергии этого электрона.

20. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками находится в основном состоянии. Определить вероятность обнаружения частицы в левой трети ямы.

21. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить вероятность обнаружения частицы в области 3/8 l < x < 5/8 l.

22. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины l с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти вероятность пребывания частицы в области l /3 < х < 2 l /3.

23. Изобразить на графике вид первых трех собственных функций Y(x), описывающих состояние электрона в потенциальной яме шириной l, а также вид |Y|². Установить соответствие между числом N узлов волновой функции (т.е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале (0 < х < l) и квантовым числом n, функцию считать нормированной на единицу.

24. Частица в потенциальной яме l находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить в каких точках интервала (0 < x < l) плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значения.

25. Электрон находится в потенциальной яме шириной l. В каких точках в интервале (0 < х < l) плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить значение плотности вероятности для этих точек. Решение пояснить графически.

26. Частица в потенциальной яме находится в основном состоянии. Какова вероятность обнаружить частицу: 1) в средней трети ямы; 2) в крайней трети ямы?

27. В одномерной потенциальной яме шириной l находится электрон. Вычислить вероятность находения электрона на первом, энергетическом уровне в интервале l /4, равноудаленном от стенок ямы.

28. Частица в потенциальной яме шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервале l /4 равноудаленном от стенок ямы.

29. Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале l /4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы. Ширина ямы l.

30. Электрон находится в одномерном потенциальной яме шириной l. Определить среднее значение координаты <х> электрона (О < x < l).

31. Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид Y=Се^r/a, где С - нормировочный множитель, а - первый боровский радиус. Найти:

а) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром;

б) среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон;

в) среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра.

32. Атом водорода находится в основном состоянии. Собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме, имеет вид Y=Ce^-r/a. Найти из условия нормировки значение постоянной С.

33. Собственная функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид Y=Ce^-r/a, где а - радиус первой боровской орбиты. Определить расстояние, на котором вероятность нахождения электрона максимальна.

34. Электрон в атоме водорода описывается в основном состоянии волновой функцией Y=Ce^-r/a (а – радиус первой боровской орбиты). Определить отношение вероятностей пребывания электрона в сферических слоях толщиной Δr=0,01 а, радиусами r₁=0,5а и r₂=1,5а.

35. Атом водорода находится в основном состоянии. Вычислить:

§ вероятность того, что электрон находится внутри области, ограниченной сферой радиуса а, равного радиусу первой боровской орбиты;

§ вероятность того, что электрон находится вне этой области;

§ отношение вероятностей;

Волновую функцию считать известной: Y=Ce^-r/a.

36. Зная, что нормированная собственная волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид Y= e^-r/a, где а - радиус первой боровской орбиты, найти среднее значение расстояния электрона от ядра.

37. Атом водорода находится в состоянии 1s. Определить вероятность пребывания электрона в атоме внутри сферы радиусом r = 0,1а (где а - радиус первой боровской орбиты). Волновая функция, описывающая это состояние, считается известной.

38. Электрон с энергией Е=4 эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U=10 эВ и шириной l =0,1 нм. Определить коэффициент D прозрачности потенциального барьера.

39. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l =0,l нм. Определить в электрон-вольтах разность энергий U-E, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,5.

40. Протон с энергией Е=5 эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер, высотой U=10 эВ и шириной l =0,1 нм. Определить: 1) вероятность прохождения протоном этого барьера; 2) во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона при вышеприведенных условиях.

41. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l =0,1 нм. Разность между высотой потенциального барьера и энергией движущегося в положительном направлении оси х электрона U-E=5 эВ. Определить, во сколько раз изменится коэффициент D прозрачности потенциального барьера для электрона, если разность U-E возрастет в 4 раза.

42. Воспользовавшись формулой коэффициента прозрачности, найти для электрона с энергией Е вероятность D прохождения потенциального барьера, ширина которого l и высота U, если баръер имеет форму, показанную на рисунках 1, 2, 3, 4. Принять E=U/2.

43. Найти вероятность D прохождения частицы с массой m и энергией Е сквозь потенциальный барьер (рис.5), где U(x)=U₀(1-x²/ l ²).