2.1
| Показать, что представление ядра атома водорода в виде твердого шарика с радиусом
rе =0,7×10-13см с массой,,равной массе протона, и собственным моментом, равным, J =(3/4)1/2 , входит в противоречие с теорией относительности
|
|
|
2.2
| Считайте, что электрон–однородный шарик с радиусом rе =10-14см. Найдите скорости экваториальных точек на его поверхности, обусловленные вращением со спином S =(3/4)1/2 и сравните их со скоростью света.
|
| Ответ: Для однородного шарика в классическом приближении собственный момент количества движения M выражается формулой: M=J´w, где J=2/5mr2-момент инерции шарика, а w=v/r –угловая скорость. Отсюда получаем . Для сравнения скорость света равна 3×1010(см/с).
|
2.3
| Покажите, что магнитный дипольный момент частицы с нулевым спином должен равняться нулю
|
| Ответ: Это следует из определения дипольного момента: , где g-{g–фактор}, -ядерный магнетон, J –величина спина частицы в единицах .
|
2.4
| Проверить коммутируют ли операторы:
|
| Ответ: .
операторы: не коммутируют.
|
2.5
| Проверить коммутируют ли операторы:
|
| Ответ: .
операторы: коммутируют.
|
2.6
| Проверить коммутируют ли операторы:
|
| Ответ: .
операторы: коммутируют.
|
2.7
| Показать, что в сферической системе координат оператор проекции момента количества движения . Использовать формулы, связывающие декартовы и сферические координаты, а также выражение для оператора в декартовой системе координат:
x=r×sinq×cosj; y= r×sinq×sinj; z= r×cosq.
|
| Ответ: Отметим сначала, что Выразим частную производную по j через производные по х, у, z. . Подставляя в это выражение соответствующие производные от х, у, z по j, получаем . С учётом выражений для х и у. .
|
2.8
| Частица со спином ½ находится в состоянии с определённым значением sz=1/2. Определить вероятности возможных значений проекции спина на ось z ’, наклонённую под углом q к оси z.
|
| Ответ: Средний вектор спина s направлен по оси z и равен по величине ½. Проектируя его на ось z’, найдём, что среднее значение спина в направлении оси z’ есть < sz’> =1/2соsq. С другой стороны, имеем
< sz’>= 1/2(w+ - w-), где w ± - вероятности значений sz’= ±1/2. Учитывая также, что w+ + w-+= 1, найдём: w+=cos2 (q/2); w-= sin2 (q/2).
|
2.9
| В лазере большое число атомов одновременно переводится в возбужденное состояние. Затем появление небольшого количества фотонов индуцирует лавинообразное излучение, в которое дают вклад все возбуждённые атомы, что приводит к образованию очень большого числа фотонов с совершенно одинаковой длиной волны, испускаемых строго в одном направлении. Можно ли надеяться, что кто-нибудь создаст подобное же устройство, излучающее нейтрино (частицы с массой, равной нулю, и спином ½)
|
| Ответ: Нейтрино является фермионом, поэтому согласно принципу Паули, в одном и том же состоянии может находиться не более чем одна частица. Следовательно, нельзя получить поток нейтрино с высокой степенью когерентности: «нейтринный лазер» невозможно создать принципиально.
|
2.10
| Радиопередатчик излучает сигнал мощностью 1МВт на частоте 1МГц.
а) Какова энергия (в эВ) каждого излучённого кванта?
б) Сколько квантов излучается за каждый период колебаний электромагнитного поля?
|
| Ответ: Энергия кванта связана с частотой соотношением hn. Отсюда получаем:
а) e=6,626×10-24(Дж×с)×106(с-1)= 6,626×10-18(Дж)´0,624×109(эВ/Дж)=4,13×10-9эВ;
б) радиопередатчик мощностью 1МВт за каждый период колебаний излучает энергию
Е=106(Вт)×10-6(с)=1Дж. Следовательно, за период колебаний испускается
N=E/e»0,151×1018квантов.
|
2.11
| Интенсивность излучение абсолютно чёрного тела I(w)Dw описывается в интервале частот от w+Dw формулой Планка. Показать, как ведёт себя I(w) при малых w? При больших w?
|
| Ответ: Формула Планка для спектрального распределения энергии излучения абсолютно чёрного тела имеет вид: , где . При малых n (hn<<kT) распределение принимает вид (формула Рэлея-Джинса). При больших n (hn>>kT) (формула Вина).
|
| Интенсивность излучение абсолютно чёрного тела I(n)Dn описывается в интервале частот от n+Dn формулой Планка. При какой частоте на единичный интервал частот приходится максимальная энергия?
|
| Ответ: Формула Планка для спектрального распределения энергии излучения абсолютно чёрного тела имеет вид: . Максимум спектра r(Т,n) определим, приравнивая нулю производную функции , где х=hn/kT. Это условие приводит к трансцендентному уравнению: х=3(1-е-х). Его удобно решать графически или методом итераций. Если в качестве первого приближения взять х=3, то уже после первой итерации с достаточной степенью точности получаем х»2,822. Отсюда получаем .
|