Значимость числа

Даже освободившись от ограничений логики, мысль не достигает того, что лежит за пределами триады; вместе с тем, нет сомнения, что должны быть значимы также и четырехчленные, и пятичленные, и более сложные системы. Подлинная четырехчленная система, например, совершенно отлична от триады, и мы не можем надеяться привести такую систему в область одной лишь мысли. Многочленные системы обязывают нас, следовательно, принять в расчет значимость числа как фактора всего опыта; для этого мы должны стремиться к полноте охвата, превышающей то, что дает логика. Логическая интерпретация числа возникает из формирования классов и по своей сущности полярна или дуалистична; это значит, что она состоит в приписывании объекта данному классу в терминах простого различения "да, это член класса", или "нет, это не член класса". Такая процедура ведет к воззрению на число, в соответствии с которым в нем нечего знать, кроме законов арифметики. Эти законы принадлежат, однако, всего лишь к примитивной форме логической мысли.

Есть и другие способы мышления о числе. Мы можем, например, взять несколько групп объектов и, размечая их по парам, рассмотреть, есть ли однозначное соответствие, такое, что ни один объект не остается не отмеченным ни в одной из групп. Проделав это, мы можем утверждать, что группы имеют одинаковое число объектов, независимо от того, какие объекты их составляют. Так, мы можем говорить о наборе из двенадцати яблок, двенадцати человек, или просто двенадцати объектов. Числа появляющиеся таким образом, называются количественными числительными, и все их свойства могут быть выведены из простых правил попарного сочетания. Другими словами, количественные числительные не выходят реально за пределы значимости числа "два". Однажды увидев, как осуществляется эта операция распределения по парам, и убедившись, что остатка нет, мы не нуждаемся во введении какой бы то ни было новой операции, чтобы дойти от двух до двенадцати, или до ста, или до любого большего числа.

Другой метод конструирования чисел – повторение. Повторяя действие, выражаемое словами "и это", мы обнаруживаем, что это означает формирование упорядоченного ряда порядковых числительных, обозначаемых словами "первый", "второй", "третий" и.т.д. Обычно мы соединяем эти два метода получения чисел неясным и непоследовательным образом. Пересчитывание и соединение в пары – операции весьма разные по значимости, но мы не задаем себе вопрос, в чем состоит разница, или что общего имеют получаемые результаты.

Есть способ представления числа, для которого мы не имеем общепринятого названия, но который может быть назван арифметическим качеством. Он касается внутренних отношений группы и включает такие свойства, как различения между простыми и составными числами. Например, числа одиннадцать, двенадцать и тринадцать сильно отличаются друг от друга. Число двенадцать, будучи получаемо умножением двух на два и на три, богато внутренними комбинациями. Числа одиннадцать и тринадцать – оба простые, но отличаются тем, как они входят в сочетания. Можно с первого взгляда сказать, делится ли число, записанное в десятичной системе, на одиннадцать, в то время как число тринадцать остается нераскрытым. Если мы воспользуемся двенадцатиричной системой, внешний характер этих двух чисел переменится. Для математика, который занимается арифметикой и изучает такие свойства чисел, каждое имеет собственные внутренние качества, которые много более интересны и значительны, чем абстрактные свойства, появляющиеся, когда числа конструируются сочетанием в пары или повторением.