Задача № 46

Возможные значения проекции момента импульса на произвольную ось равны , где . Считая, что эти проекции равновероятны и оси равноправны, покажите, что в состоянии с определённым значением среднее значение квадрата момента импульса .

Решение:

Формулы, связывающие физические величины в классической физике, в квантовой физике справедливы для средних значений. Следовательно, среднее значение квадрата момента импульса равняется сумме средних значений квадратов проекций момента импульса на все координатные оси:

(1)

Так как мы предполагаем все координатные оси равноправными, то , поэтому выражение (1) можно переписать:

(2)

Проекция момента импульса на произвольную ось z при определённом значении может принимать значений:

(3)

где . Считая, что эти проекции равновероятные найдём среднее значение квадрата проекции момента импульса:

(4)

Подставив это выражение для в выражение (2), получим, что среднее значение квадрата момента импульса равняется:

(5)

Ответ:

.