Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Задача № 45
Частица массой находится в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками во втором возбуждённом состоянии. Найдите среднее значение кинетической энергии частицы , если ширина ямы равна .
Решение:
Вид потенциальной ямы представлен на рисунке 1:
Составим уравнение Шредингера для области :
(1)
или в виде:
(2)
где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
(3)
Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Так как в области потенциальная энергия равняется бесконечности, то частица находиться в области не может. Следовательно, плотность вероятности, а, значит, и пси-функция в области равны нулю. Из условия непрерывности пси-функции для точки получим:
Аналогично, из условия непрерывности пси-функции для точки получим:
Тогда пси-функции собственных состояний частицы в данной потенциальной яме имеют вид:
(4)
Учитывая, что , получим:
(5)
Мы получили энергетический спектр частицы в потенциальной яме. Определим постоянную в выражении для пси-функции (4), используя условие нормировки:
(6)
Тогда пси-функции собственных состояний имеют следующий вид:
(7)
Во втором возбуждённом состоянии (так как - это основное состояние, - первое возбуждённое), поэтому пси-функция второго возбуждённого состояния имеет вид:
(8)
Из постулатов квантовой механики среднее значение какой-нибудь физической величины в состоянии, описываемом пси-функцией , определяется следующим образом:
(9) где - оператор физической величины , а - функция, сопряжённая к пси-функции . Операторы проекций импульса на координатные оси x,y,z имеют вид:
(10)
Формулы, связывающие физические величины в классической физике, в квантовой физике справедливы для операторов этих физических величин. Поэтому мы можем записать:
(11)
Операторы квадрата импульса и кинетической энергии связаны выражением:
(12)
В нашем одномерном случае оператор кинетической энергии имеет вид:
(13)
Тогда среднее значение кинетической энергии во втором возбуждённом состоянии определяется выражением:
(14)
Ответ:
.
|