Задача № 44

Частица находится в двумерной квадратной потенциальной яме с непроницаемыми стенками во втором возбуждённом состоянии. Найдите среднее значение квадрата импульса частицы , если сторона ямы равна .

Решение:

Вид потенциальной ямы представлен на рисунке 1:

Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области :

(1)

или в виде:

(2)

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(3)

Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Вне области потенциальная энергия частицы равняется бесконечности, поэтому частица вне области находиться не может. Значит, плотность вероятности нахождения частицы, а, значит, и пси-функция вне области равны нулю. Из условия непрерывности пси-функций:

Значит, пси-функция имеет вид:

(4)

Дважды дифференцируя выражение (4) по x и по y, получим:

(5)

Подставим производные (5) в уравнение Шредингера (2):

(6)

Учитывая, что , получим:

(7)

Мы получили энергетический спектр частицы в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Как видно из выражения (7) энергия частицы зависит от двух квантовых чисел. В таблице 1 приведено несколько значений квантовых чисел и , а также значение выражения , которое определяет значение энергии в данном состоянии.

Таблица 1.

№ уровня

Как видно из таблицы во втором возбуждённом состоянии (третий энергетический уровень) .

Определим постоянную в выражении (4), используя условие нормировки:

(8)

Тогда пси-функции собственных состояний частицы имеют вид:

(9)

Пси-функция второго возбуждённого состояния:

(10)

Из постулатов квантовой механики среднее значение какой-нибудь физической величины в состоянии, описываемом пси-функцией , определяется следующим образом:

(11)

где - оператор физической величины , а - функция, сопряжённая к пси-функции . Операторы проекций импульса на координатные оси x,y,z имеют вид:

(12)

Формулы, связывающие физические величины в классической физике, в квантовой физике справедливы для операторов этих физических величин. Поэтому мы можем записать:

(13)

В нашем двумерном случае:

(14)

Найдём среднее значение квадрата импульса частицы в состоянии, описываемом пси-функцией (10):

Ответ:

.