Задача № 43

Волновая функция основного состояния электрона в атоме водорода имеет вид , где - расстояние электрона от ядра, - радиус первой боровской орбиты. Определите среднее значение квадрата расстояния электрона от ядра в этом состоянии.

Решение:

Из постулатов квантовой механики следует, что среднее значение некоторой физической величины в состоянии, описываемом пси-функцией , определяется следующим образом:

(1)

В нашем случае необходимо определить среднее значение квадрата расстояния электрона от ядра в основном состоянии в атоме водорода. Пси-функция электрона в основном состоянии имеет следующий вид:

(2)

где - функция, сопряжённая к пси-функции .

Поэтому в нашем случае получим, что среднее значение квадрата расстояния определяет следующее выражение:

(3)

где . Определим в данной пси-функции неизвестную константу из условия нормировки:

(4)

Тогда пси-функция основного состояния электрона в атоме водорода имеет вид:

(5)

Подставляя в выражение (3) пси-функцию (5), получим:

(6)

Ответ:

.