Задача № 38

Частица массой падает на прямоугольный потенциальный порог высотой . Энергия частицы равна , причём . Найдите эффективную глубину проникновения частицы в область порога, то есть на расстоянии от границы порога до точки, в которой плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в раз.

Решение:

На рисунке 1 показан вид потенциального порога:

Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для областей 1 и 2:

Для области 1: (1)

Для области 2: (2)

Или в виде:

(3)

(4)

где и . Заметим, что, так как мы рассматриваем случай, когда , то будет чисто мнимым. Решения дифференциальных уравнений (3) и (4) имеют вид:

(5)

(6)

Первое слагаемое выражения (5) соответствует падающей волне де Бройля частицы, второе слагаемое – отражённой волне. Первое слагаемое выражения (6) соответствует прошедшей дебройлевской волне частицы, других волн во второй области нет, поэтому . Тогда выражение (6) примет вид:

(7)

Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Из условия непрерывности пси-функций, имеем для точки :

(8)

Используя условие гладкости пси-функций в точке , получим:

(9)

Из уравнений (8) и (9) найдём:

(10)

(11)

Рассмотрим поток плотности вероятности. Он определяется также как и поток других физических величин: , где - скорость частицы, а - квадрат амплитуды пси-функции, который определяет плотность вероятности нахождения частицы. Учитывая, что , получим:

(12)

В нашем случае, для падающей, отражённой и прошедшей волн потоки плотности вероятности:

Для падающей волны: (13)

Для отражённой волны: (14)

Для прошедшей волны: (15)

Тогда мы можем найти коэффициенты отражения и пропускания:

Коэффициент отражения: (16)

Учитывая, что при чисто мнимое, имеем . Тогда коэффициент пропускания равен нулю. Но это не значит, что частица не может находиться в области 2. Поведение частицы в области 2 описывается пси-функцией (7), тогда плотность вероятности нахождения частицы равна:

(17)

Мы сделали замену . Пусть - эффективная глубина проникновения частицы в область потенциального порога, то есть такое расстояние от границы порога, на котором плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в раз. Тогда:

(18)

Учитывая, что , получим для эффективной глубины проникновения частицы в область потенциального порога выражение:

(19)

Ответ:

.