Закономерная вероятность

Вселенная Каминского

Закругленный мир

Бесконечное нигде не реализуется, его нет в природе, и оно

недопустимо как основа нашего разумного мышления.

Д.Гильберт

Закономерная вероятность

Случайностей ведь нет.

Что кажется подчас

лишь случаем слепым,

то рождено источником глубоким.

И. Шиллер

Физики-экспериментаторы хорошо знакомы с эффектом макрофлуктуаций. Исследуя тонкую структуру корреляций в самых разных физических, химических и биологических системах, они давно обнаружили странные закономерности в распределении измеряемых величин. Формы экспериментальных кривых (обычно выражаемых в виде гистограмм) раз за разом демонстрировали свою зависимость от некоего неизвестного фактора. "В частности, были обнаружены циклическая повторяемость форм получаемых гистограмм во времени, пространственная корреляция физически не связанных и разнесенных на большие расстояния процессов и множество других удивительных явлений" [*1].

Наиболее ярким примером такого рода является феномен "фликкер шума" (или "мерцающего шума"). Его с равным успехом "можно обнаружить и при протекании тока через пленочные резисторы в электронных схемах и при спектральном анализе музыкальных произведений и при изучении статистики годовых осадков и т.д. И в каждом отдельном случае, как правило, удается найти источник этого шума и объяснить характер его спектра. Несмотря на это, специалисты по статистике не оставляют попыток отыскать некую метапричину, некий общий принцип, который объяснил бы распространенность в природе спектра вида 1/f" [*2].

Другой пример - закон Бенфорда. Если мы проанализируем числовые ряды любых справочных данных, то обнаружим существенное преобладание единицы. (Она оказывается на первом месте приблизительно в 30% случаях.) Исследуя эту закономерность, американский физик Ф. Бенфорд даже вывел формулу, позволяющую рассчитать вероятность появления конкретной цифры "d" в начале числа: lg(1+1/d). Из формулы следует, что данная вероятность тем выше, чем меньше цифра. Схожесть типичной кривой Бенфордовского распределения со спектром фликкер-шума невольно наводит на мысль о существовании общих корней обоих феноменов.

Между тем даже малейшее отличие спектра какого-либо сигнала от спектра белого шума говорит о его определенной упорядоченности. Поэтому распространенность в природе сигналов фликкерного типа - наглядное свидетельство некоего мирового порядка, контуры которого упрямо проступают сквозь хаос случайных процессов. Собственно, этим вопросом и задался Каминский: "есть ли в непрерывном мире место для истинной случайности"? [*2].

Проблема заключается в самом понятии "континуума", предполагающего наличие бесконечных величин. Он до сих пор вызывает споры в среде математиков, которые, вроде бы, уже привыкли обращаться с бесконечностями. Во-первых, этот странный объект невозможно в полной мере обосновать средствами математики и логики. Поэтому его понимание основывается исключительно на интуитивных допущениях.

Во-вторых, не менее сложно осмыслить наличие бесконечностей в реальном мире. Вряд ли природа, "рассчитывая" траекторию подброшенной монеты, оперирует бесконечным объемом информации. С другой стороны, если она все же континуальна, то и сам человек, будучи ее частью, должен уметь оперировать бесконечными числами. И тогда для него не составило бы труда рассчитывать свое будущее с достаточной точностью. Например, в случае подброшенной монеты заранее предсказать, выпадет "орел" или "решка". Однако легко видеть, что это не так: для нас все подобные события истинно случайны.

Разумеется, чтобы сделать вывод о дискретном строении нашего мира, одних умозрительных рассуждений явно недостаточно. Другое дело, если это допущение поможет разрешить многочисленные противоречия и парадоксы, накопившиеся в физической науке. "Косметическим ремонтом" здесь не отделаешься: сложившаяся ситуация требует пересмотра самого фундамента Мироздания. Или возвращения к истокам? Ведь хотя со времен Пифагора и Демокрита многое изменилось, числа по-прежнему продолжают править миром.

Вот и Каминский (вслед за некоторыми другими современными исследователями) предлагает заменить "непрерывный" континуум точечным множеством натуральных чисел. Важно понимать, что это множество целых чисел не "перечисляет" общее количество неких элементарных частиц, а лишь нумерует состояния мира. Их число огромно, но не бесконечно. Причем человеку, как части этого мира, в принципе недоступна вся "шкала" мировых состояний.

Но сначала определимся с терминами. Максимальным числом, очевидно, будет являться число, соответствующее полному числу состояний мира. Максимальное конечное число - это то число, которое обитатель конечного мира способен прочитать и понять. Оно заведомо меньше полного числа состояний уже в силу ограниченности ресурсов, требуемых для чтения и записи чисел. Следовательно, все прочие, "не охватываемые" сознанием данного субъекта состояния автоматически попадают в категорию трансфинитных чисел, воплощая актуальную бесконечность в строгом канторовском смысле.

Как показано в работе Каминского [*3], для субъекта такого конечного мира сам мир будет восприниматься непрерывным и бесконечным. И никакие конечные методы, оказавшиеся в распоряжении этого субъекта, не помогут ему создать адекватную модель "физической реальности". Возможно лишь асимптотическое приближение к функциям, "вычисляемым" природой, по мере дальнейшего усложнения модели.

Еще одна важная особенность конечного мира связана с фундаментальными ограничениями, которые накладываются на все протекающие в нем процессы:

"Первое тривиальное следствие конечности Мира - это конечная точность измерений и вычислений. <...>

Вторым следствием конечности Мира является наличие скрытой (недоступной) для субъекта информации, а следовательно, существование непознаваемых объектов и явлений. Для доказательства достаточно будет привести пример хотя бы одного такого объекта. Простейшим примером может быть объект, требующий для описания более половины мировых состояний" [*3].

"Конечность мира приводит и к другим интересным следствиям. Так любой процесс, рассматриваемый в таком мире уже не будет случайным" [*2].

Иными словами, в конечном мире оказываются относительными не только понятия конечного и бесконечного, но и случайного и закономерного. Хотя с точки зрения математика здесь нет ничего удивительного. В технике, например, для моделирования шумовых сигналов широко используют так называемые псевдослучайные последовательности чисел. Они вычисляются по определенному арифметическому правилу с помощью специальных алгоритмов - генераторов псевдослучайных чисел. Алгоритм подбирают таким образом, чтобы генерируемые им числа подчинялись равномерному закону распределения в рамках решаемой задачи.

Поскольку любой подобный генератор обладает конечным числом внутренних состояний, то и порождаемая им последовательность неизбежно будет иметь циклический характер. Однако для целей моделирования достаточно, чтобы внутри цикла ни одно состояние не повторялось дважды. Это условие - необходимая гарантия их равновероятного распределения.

А теперь обратимся к модели конечного мира, в которой могут существовать лишь дискретные сигналы. Рассмотрим некую псевдослучайную последовательность импульсов - "мировой шум", чей цикл равен полному числу состояний мира. С точки зрения гипотетического внешнего наблюдателя он будет иметь спектр в виде равномерной гребенки узких пиков.

Но субъект конечного мира в принципе не способен отследить несущую частоту и прочие параметры "мирового шума". Все подобные величины для него заведомо трансфинитны. Тогда, согласно теореме Котельникова, мы можем без потери информации, содержащейся в исходном дискретном сигнале, заменить его непрерывным сигналом с вдвое меньшей граничной частотой. Спектр при этом приобретет уже знакомый нам вид 1/f [*1].

Отсюда Каминский делает парадоксальный вывод, что "фликкерная составляющая шумов в реальных физических процессах может быть обусловлена конечностью нашего физического мира" [*2]. Действительно, в конечном мире глобальная взаимосвязь всех событий просто неизбежна. И макрофлуктуации - лишь ее частный случай. Впрочем, мистики об этом знали тысячелетия назад...