Дифракция света. Дифракция на одной щели

Основные формулы:

Дифракция на одной щели.

При нормальном падении лучей на щель шириной a

условие дифракционных максимумов

a sin j = (2 k +1) l/2, (k =1, 2, 3...)

условие дифракционных минимумов

a sin j = k l, (k =1, 2, 3...)

Дифракция на плоской дифракционной решетке.

При нормальном падении лучей на решетку с периодом d

условие главных дифракционных максимумов

d sin j = k l, (k =1, 2, 3...)

условие добавочных минимумов

d sin j = k l/ N,

где N – число щелей (штрихов решетки), k = 1, 2, 3..., кроме значений k = N, 2 N, 3 N...

Разрешающая способность дифракционной решетки

R = l/(d l) = kN,

где dl – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (l и l +d l), при которой эти линии могут быть видны раздельно.

Угловая дисперсия дифракционной решетки

D _j = d j / d l = k / (d × cos j).

Линейная дисперсия дифракционной решетки D _l = .

Для малых углов дифракции D _l» F × D _j,

где F – фокусное расстояние линзы, собирающей на экране дифракционную картину.

Примеры решения задач

Задача 6. На пути луча, идущего в воздухе, поставили диафрагму с круглым отверстием, пропускающим: 1) половину первой зоны Френеля; 2) первую зону Френеля; 3) первые полторы зоны Френеля. Как изменилась при этом интенсивность света в точке наблюдения, находящейся на оси отверстия?

Решение

а	б	в	г
	Рис. 6

1) Задачу решаем методом графического сложения амплитуд. В случае, когда идет луч в воздухе, векторная диаграмма имеет вид, представленный на рис. 6, а. Вектор, соединяющий начало диаграммы (т. О) с конусом (т. А), является вектором амплитуды колебания, возбуждаемого в точке наблюдения всей волновой поверхностью.

На рис.6,б представлена векторная диаграмма, соответствующая случаю, когда отверстие пропускает половину первой зоны Френеля. Световой эффект в этом случае определяется вектором .

Из рис. 6 видно, что ОВ = ОА / (cos45 ˚) = OA× . Интенсивность световой волны пропорциональна квадрату ее амплитуды J ~A ², следовательно, интенсивность света в первом случае (рис. 6, а) J ₁ ~ОA ², во втором случае (рис. 6, б) J ₂ ~ОВ ².

, следовательно, интенсивности увеличиваются в два раза.

2) Во второй задаче отверстие пропускает первую зону Френеля. Векторная диаграмма для этого случая представлена на рис. 6, в. Результирующая амплитуда – вектор ОС. Из рис. 6, в видно, что ОС=2 · ОА, следовательно, , то есть интенсивность увеличивается в 4 раза.

3) Векторная диаграмма для решения третьей задачи представлена на рис. 6, г. Результирующий вектор амплитуды – вектор ОD. Сравнение рис. 6, б и 6, г показывает, что ОD = ОВ, следовательно, ответ будет такой же, как на первый вопрос задачи.

Ответ: 1) увеличивается в 2 раза;

2) увеличивается в 4 раза;

3) увеличивается в 2 раза.

Задача 7. На диафрагму с диаметром отверстия 1,96 мм рис. 7 падает нормально параллельный пучок монохроматического света (l=600 нм). При каком наибольшем расстоянии между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно?

Дано: D = 1,96 мм l = 600 нм	Решение
l max –?

Так как на диафрагму падает параллельный пучок монохроматического света, то фронт этих лучей – плоскость. Диафрагма будет вырезать из плоскости волнового фронта кружок диаметром D, в котором укладывается определенное число (n) зон Френеля. Расстояние АВ = r = l + n ^. l/2.

Из треугольника ОАВ

(l + n ·l/2) ² = (D /2) ² + l ²,

l ² + l · n ·l + n ^2. (l ² /4) = D ² /4+ l ².

Ввиду малости величины l (l << l) величиной l ² можно пренебречь, тогда

n = D ² /(4 l l).

Последняя формула свидетельствует о том, что с увеличением расстояния между диафрагмой и экраном число зон Френеля, укладывающихся в отверстии диафрагмы, изменяется. От того, четное или нечетное число зон Френеля укладывается в отверстии диафрагмы, зависит результат дифракции: при четном числе наблюдается минимум, при нечетном – максимум.

Зависимость интенсивности света в центре дифракционной картины от расстояния между диафрагмой и экраном представлена на рис. 9.

Из рис. 9 видно, что интенсивность максимумов падает, а интенсивность минимумов растет, приближаясь к интенсивности при полностью открытом фронте (n ®¥). При приближении к диафрагме

последний минимум наблюдается при числе открытых зон Френеля n =2, это соответствует искомому расстоянию l _max. Подставляя значение n =2 в последнюю формулу, получим

2 = D ² /(4 l _max l), откуда l _max = D ² /(8 l).

l _max = (1,96) ^2. 10 ^‑6 /(8 6 ^. 10 ^‑7) =0,8 (м).

Ответ: l _max = 0,8 (м).

Задача 8. На дифракционную решетку шириной 1 см падает нормально белый свет. Спектр проектируется линзой на экран, отстоящий от решетки на 3 м. Ширина спектра первого порядка 66 см. Определить: 1) постоянную решетки; 2) общее число главных максимумов, даваемых решеткой; 3) разрешающую способность решетки для максимума наибольшего порядка. Границы видимости спектра l _кр = 780 нм, l _ф = 400 нм.

Дано: L =1 см=10‑2 м F =3 см=3.10‑2 м lкр=780 нм=7,80.10–7м lф = 400 нм=4.10–7м	Решение Рис. 10
1) d –? 2) N –? 3) R –?

На рис.10 j _ф – угол дифракции, соответствующий углу отклонения от первоначального направления фиолетовых лучей, j _кр – красных лучей. В точке О (центре дифракционной картины) собираются лучи, прошедшие дифракционную решетку без отклонения (j=0). В этой точке наблюдается центральный дифракционный максимум.

l _ф – расстояние от центрального максимума до фиолетовой линии первого порядка, l _кр – до красной линии; D l – длина спектра первого порядка. Так как углы дифракции первого порядка малы, можно считать, что

sin j» tg j» j (рад).

Из рисунка видно, что

j _ф» l _ф / F; j _кр» l _кр / F; D l = l _кр – l _ф = F (j _кр – j _ф).

Постоянная решетки d, длина волны l и угол дифракции j связаны между собой соотношением

d ×sinj = k ×l (условие главного максимума),

где k – порядок максимума.

По условию задачи k =1, sinj» j = l/ d.

Общее число главных максимумов, даваемых решеткой, определяется максимальным порядком k _max и равно N _max =2 k _max +1, так как дифракционная картина симметрична: число максимумов справа от центрального, слева от центрального и сам центральный максимум. Максимальный порядок, даваемый решеткой, получим из условия дифракционного максимума, положив sinj = 1, так как угол отклонения лучей решеткой не может превышать 90 ˚, при этом

k _max = d /l _min; k _max =1,7 ^. 10 ^‑6 /4 ^. 10 ^–7 =4,(25), то есть максимальный порядок равен 4 (всегда округляем в сторону уменьшения, так как максимум следующего порядка не виден).

Общее число главных дифракционных максимумов

N _max = 2 ^. 4 + 1 =9.

Разрешающая способность дифракционной решетки определяется соотношением

R = k ^. N,

где N – общее число штрихов (щелей) решетки, k – порядок дифракционного максимума.

По условию задачи k = k _max = 4. Число щелей найдем из ширины L дифракционной решетки, так как L = N ^. d,

N = L / d.

R = k _max ^. L / d;

R = (4 ^. 10–2)/(1,7 ^. 10 ^–6) = 23529.

Ответ: d = 17 мкм, N _max = 9, R = 23529.

Задача 9. Минимальное значение угловой дисперсии некоторой дифракционной решетки D =1,266 ^. 10 ^–3 рад/нм. Найти угловое расстояние между линиями с l ₁ =480 нм и l ₂ =680 нм в спектре первого порядка.

Минимальное значение угловой дисперсии соответствует минимальному значению k =1 и максимальному значению cos j =1, то есть

D _min =1/ d,

следовательно, можно определить период решетки

d =1/ D _min;

d =1/ 1,266 ^. 10 ^‑6 =7,9 ^. 10 ^‑7 (м).

Из условия дифракционного максимума

d sin j ₁ = l ₁ (k =1 по условию задачи)

d sin j ₂ = l ₂

sin j ₁ = l ₁ / d =4,8 ^. 10 ^‑7 /7,9 ^. 10 ^‑7 =0,6; j ₁» 37˚;

sin j ₂ = l ₂ / d =4,8 ^. 10 ^‑7 /7,9 ^. 10 ^‑7 =0,6; j ₂» 59˚;

Dj = 59˚ – 37˚=22˚.

Ответ: Dj = 22˚.

Задача 10. Будут ли разрешены дифракционной решеткой, имеющей 100 штрихов, спектральные линии с длиной волн l ₁ =598нм и l ₂ = 602 нм в спектре а) первого б) второго порядка?

Если разность длин волн Dl < dl, две линии сливаются в одну, то есть не разрешаются дифракционной решеткой.

Для порядка k =1 R ₁ =1 ^. 100=100, для порядка k =2 R ₂ =2 ^. 100=200.

В формуле (1) Dl =l ₂ – l ₁ =602 – 598 = 4 (нм);

l =(l ₂ + l ₁)/2 = 600 (нм);

l /Dl = 600(нм)/4(нм)=150, что больше R ₁ и меньше R ₂.

Это означает, что для первого порядка Dl < dl и указанные в условии задачи линии не разрешаются данной дифракционной решеткой.

Для второго порядка Dl > dl и линии видны раздельно.

Ответ: а) не разрешены; б) разрешены.