Зависимость волновой функции от времени

Волновая функция де Бройля (6) зависит от времени через посредство множителя ехр (—(i / h ') Et), где Е— энергия частицы. (Де Бройль рассматривал релятивистскую частицу, в энергию которой включена энергия покоя т₀ с², но под Е можно подразумевать и нерелятивистскую энергию.) Если предположить такую же зависимость от времени у волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера (12), то можно будет

исключить из этого уравнения параметр Е. В самомделе, положим

(15)

подчиним ψ уравнению

(16)

Тогда ψ _Е (а также ψ) будет удовлетворять уравнению Шредингера (12).

Решение вида (15) соответствует стационарному состоянию системы В самом деле, распределение вероятностей для координат, которое выражается через квадрат модуля ψ, от времени не зависит Так же точно не будут зависеть от времени распределения вероятностей для количества движения и для других величин, операторы которых не зависят от времени явно. Такое состояние вполне отвечает представлению о стационарности

Но уравнение (16) является более общим, чем уравнение (12). Его можно толковать как закон изменения состояния данной системы во времени Состояния с определенной энергией являются стационарными. Но возможны и такие состояния, в которых энергия не имеет определенного значения; такие состояния стационарными уже не будут.

Уравнению (16) будет удовлетворять не только функция (15), но также и сумма выражений вида (15), взятая для разных значений Е (а в пределе также интеграл по Е). Для такого решения распределение вероятностей для координат (а также для других величин, в том числе при U ≠ 0, и для количества движения будет меняться со временем Что же отображает в этом случае зависимость волновой функции ψ от времени?

Как мы уже указывали в конце § 8, вероятности результатов поверочного опыта могут зависеть от времени, к которому этот опыт относится, и теория должна давать эту зависимость Иначе говоря, теория должна давать прогнозы, относящиеся к определенному времени (Разумеется, прогнозы возможны только в том случае, если система находится в заданных внешних условиях.) Зависимость волновой функции от времени и дает возможность делать такие прогнозы

Если зависимость волновой функции от времени сводится к показательному множителю exp(-(i/h') Et), то, как мы видели, все распределения вероятностей, а значит и прогнозы, от времени не зависят, и мы имеем стационарное состояние. Рассмотрим теперь пример нестационарного состояния свободной частицы.

Возьмем для простоты одномерную задачу. Пусть в начальный момент времени распределения вероятностей для координаты х и для количества движения р_x=р соответствуют наиболь-

шей возможной определенности этих величин, совместной с неравенством Гейзенберга. Можно показать, что эти распределения будут выражаться законом Гаусса. А именно, если среднее значение координаты есть x₀ и среднее значение количества движения есть р₀, причем средние квадратичные отклонения для этих величин суть (∆ x) ₀ и (∆ p) ₀, то в случае наибольшей возможной определенности *)

(∆ x) ₀ (∆ p) ₀ = h'/2, (17)

а плотности вероятностей будут

где (∆ x) ₀ и (∆ p) ₀ связаны соотношением (17). Этим распределениям вероятности соответствует волновая функция

(21) ее преобразованная по Фурье

Каковы же будут прогнозы результатов измерения, если оно будет производиться через время t после начального момента? Мы можем угадать ответ, не пользуясь аппаратом квантовой механики, и затем сравнить его с ответом, вытекающим из теории.

Прежде всего, поскольку в классической механике количество движения свободной частицы сохраняется, мы можем ожидать, что в квантовой механике будет сохраняться распределение вероятностей для него. Таким образом, мы должны ожидать, что для времени t

(22)

причем

∆ p= (∆ p)₀ (23)

Что касается координаты, то мы должны ожидать, что ее среднее значение к моменту времени t будет уже не x ₀, а

x _t = x ₀ + (p ₀ / m) t (24)

________________________________

*) Множитель 1/2 в правой части (17) не означает нарушения неравенств Гейзенберга, так как эти неравенства указывают только порядок входящих в них величин, и неопределенностям ∆ x и ∆ p не давалось точного определения; в формуле же (17) под ∆ x и ∆ p разумеются именно средние квадратичные, и эта формула дает для них точный нижний предел.

поскольку частица движется (если ее рассматривать классически) со скоростью v=р₀/m.

Неопределенность же в координате должна с течением времени возрастать вследствие неопределенности ∆ p / m в скорости частицы. Считая, что ∆ x складывается из начальной неопределенности (∆ x)₀ и из неопределенности (∆ p / m) t, накопившейся за время t, по закону сложения независимых погрешностей, будем иметь

(25)

Таким образом, из чисто классических рассуждений мы получили, что прогнозы результатов измерения координаты во время t должны соответствовать распределению вероятностей с плотностью

(26)

где x_t равно (24), а∆ x имеет значение (25); обе эти величины зависят от времени.

Те же формулы (26) и (22) получаются и по квантовой механике, если мы будем решать уравнение Шредингера для свободной частицы при начальном значении (20) волновой функции.*)

Приведенные выше “классические” рассуждения, разумеется, не являются выводом и не могут заменить решения уравнения Шредингера. Но они дают наглядную иллюстрацию к квантово-механическим формулам. Прежде всего они подтверждают правильность толкования волновой функции как выражения для потенциальных возможностей результатов измерения. Становится ясным, что зависимость волновой функции (и соответствующих вероятностей) от времени относится к прогнозам и,не может быть истолкована как изменение частицы самой по себе (в классическом смысле). В самом деле, поскольку частица свободна и устойчива (как это предполагается), никаких изменений, подобных расплыванию, с ней происходить не может.

В начальный период развития квантовой механики “расплывание” волновой функции свободной частицы производило впечатление парадокса. Само понятие нестационарности состояния свободной и устойчивой частицы казалось противоречивым. Теперь же мы можем видеть в возможности таких состояний только лишнее подтверждение правильности отказа от абсолютизации физических процессов.

Резюмируя, можно сказать, что волновая функция позволяет, на основании данных, полученных в начальном опыте, делать

________________________________________

*) Фаза функции φ (π, t) будет линейной функцией от времени, фаза же ψ(υ, t) будет иметь более сложный вид.

прогнозы, относящиеся к поверочному опыту. Изменение волновой функции во времени по уравнению Шредингера отображает изменение этих прогнозов и имеет поэтому физический смысл только вплоть до момента поверочного опыта. В поверочном опыте потенциальные возможности различных результатов измерения превращаются в действительность, а новые потенциальные возможности открываются только в том случае, если этот опыт может быть использован в качестве начального (что, вообще говоря, не имеет места; так, квант света, поглощенный атомом, перестает существовать). Если этот (или новый) опыт дает новые начальные данные, то по ним можно построить новую волновую функцию для новых прогнозов. Эта новая волновая функция никак не связана со старой, и переход от старой функции к новой происходит не по уравнению Шредингера; он отображает не физический процесс, а процесс логический: переход от старых начальных данных к новым. Правда, этот логический процесс связан с актом измерения, который является процессом физическим. Но акт измерения должен описываться классически, тогда как волновая функция, отображает не самый акт измерения, а лишь его результаты и выводимые из них прогнозы.